Question

6．如圖，AB是圓O的直徑，C是半徑OB的中點，D是OB延長線上一點，且BD=OB，直線MD與圓O相交于點M、T（不與A、B重合），DN與圓O相切于點N，連結(jié)MC，MB，OT．
（Ⅰ）求證：DT•DM=DO•DC；
（Ⅱ）若∠DOT=30°，求∠BMC．

Answer 1

分析 （1）可證△DCN與△DNO相似，得DN²=DB•DO，由切割線定理可得DN²=DT•DM，即可得證；
（2）結(jié)合（1）的結(jié)論證得△DTO∽△DCM，得到兩個角∠DOT、∠DMC相等，結(jié)合圓周角定理即可求得∠BMC．

解答 （Ⅰ）證明：連接ON，∠OND=90°，$BN=\frac{1}{2}OD=OB=ON$，△OBN為等邊三角形，則CN⊥OB，
可證△DCN與△DNO相似，得DN²=DB•DO；
又DN²=DT•DM，則DT•DM=DO•DC-------（5分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，$\frac{DT}{DC}=\frac{DO}{DM}$，且∠TDO=∠CDM，
所以△DTO與△DBM相似，則∠DOT=∠DMC-------（10分）
因為$∠BMT=\frac{1}{2}∠BOT={15°}$，所以∠BMC=15°

點評 本題主要考查與圓有關(guān)的比例線段、圓中的切割線定理以及相似三角形，屬于基礎(chǔ)題．