Question

公差不為零的等差數(shù)列{a_n}中，a₄=5，且a₃、a₅、a₈ 成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=

1

an+1an

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（1）由已知條件，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的性質(zhì)，列出方程組，求出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）根據(jù)數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，求出b_n=

1

an+1an

，由此利用裂項(xiàng)求和法能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答：解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，d≠0，
∵a₄=5，且a₃、a₅、a₈ 成等比數(shù)列，
∴

a1+3d=5 (a1+4d)2=(a1+2d)(a1+7d)

，
∵d≠0，∴解得a₁=2，d=1，
∴a_n=2+（n-1）=n+1．
（2）∵a_n=n+1，
∴b_n=

1

an+1an

=

1

(n+2)(n+1)

=

1

n+1

-

1

n+2

，
∴S_n=（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n+1

-

1

n+2

）
=

1

2

-

1

n+2

=

n

2n+4

．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．