Question

6．已知函數(shù)f（x）=x²+ax+b，x∈[-5，5]．
（1）若函數(shù)f（x）圖象過點（1，0）和（3，0）．求f（-1）的值．
（2）當a=-2，b=-5時．求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和值域．
（3）若函數(shù)f（x）在[-5，5]上增函數(shù)．求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)f（x）圖象過點（1，0）和（3，0）．求出a，b值，得到函數(shù)的解析式，將x=-1代入可得答案；
（2）當a=-2，b=-5時，函數(shù)f（x）=x²-2x-5的圖象是開口朝上，且以x=1為對稱軸的拋物線，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和值域．
（3）若函數(shù)f（x）在[-5，5]上增函數(shù)，則$-\frac{a}{2}$≤-5，解得a的取值范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=x²+ax+b，x∈[-5，5]的圖象過點（1，0）和（3，0）．
∴$\left\{\begin{array}{l}a+b+1=0\\ 3a+b+9=0\end{array}\right.$，
解得：a=-4，b=3，
∴f（x）=x²-4x+3，
∴f（-1）=8．
（2）當a=-2，b=-5時．函數(shù)f（x）=x²-2x-5，x∈[-5，5]．
∵y=x²-2x-5的圖象是開口朝上，且以x=1為對稱軸的拋物線，
∴f（x）=x²-2x-5，x∈[-5，5]的單調(diào)遞減區(qū)間為[-5，1]，單調(diào)遞增區(qū)間為[1，5]，
當x=-5時，函數(shù)取最大值30，當x=1時，函數(shù)取最小值-6，
故函數(shù)f（x）的值域為[-6，30]．
（3）函數(shù)f（x）=x²+ax+b的圖象是開口朝上，且以x=$-\frac{a}{2}$為對稱軸的拋物線，
若函數(shù)f（x）在[-5，5]上增函數(shù)．
則$-\frac{a}{2}$≤-5，
解得：a≥10．

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．