【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),證明:對(duì)任意的.
【答案】(1)見解析(2)見解析
【解析】試題分析:(Ⅰ)求出導(dǎo)函數(shù),對(duì)參數(shù)a進(jìn)行分類討論,得出導(dǎo)函數(shù)的正負(fù),判斷原函數(shù)的單調(diào)性;(Ⅱ)整理不等式得ex-lnx-2>0,構(gòu)造函數(shù)h(x)=ex-lnx-2,則可知函數(shù)h'(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增, 所以方程h'(x)=0在(0,+∞)上存在唯一實(shí)根x0,即得出函數(shù)的最小值為h(x)min=h(x0)=ex0lnx02=即ex﹣lnx﹣2>0在(0,+∞)上恒成立,即原不等式成立.
試題解析:
解:(Ⅰ)由題意知,函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞),
由已知得.
當(dāng)a≤0時(shí),f'(x)>0,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞).
當(dāng)a>0時(shí),由f'(x)>0,得,由f'(x)<0,得,
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為.
綜上,當(dāng)a≤0時(shí),函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞);
當(dāng)a>0時(shí),函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為.
(Ⅱ)證明:當(dāng)a=1時(shí),不等式f(x)+ex>x2+x+2可變?yōu)?/span>ex﹣lnx﹣2>0,令h(x)=ex﹣lnx﹣2,則,可知函數(shù)h'(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增,
而,
所以方程h'(x)=0在(0,+∞)上存在唯一實(shí)根x0,即.
當(dāng)x∈(0,x0)時(shí),h'(x)<0,函數(shù)h(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí),h'(x)>0,函數(shù)h(x)單調(diào)遞增; 所以.
即ex﹣lnx﹣2>0在(0,+∞)上恒成立,
所以對(duì)任意x>0,f(x)+ex>x2+x+2成立.
年級(jí) | 高中課程 | 年級(jí) | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校數(shù)學(xué)課外興趣小組為研究數(shù)學(xué)成績是否與性別有關(guān),先統(tǒng)計(jì)本校高三年級(jí)每個(gè)學(xué)生一學(xué)期數(shù)學(xué)成績平均分(采用百分制),剔除平均分在分以下的學(xué)生后, 共有男生名,女生名,現(xiàn)采用分層抽樣的方法,從中抽取了名學(xué)生,按性別分為兩組,并將兩組學(xué)生成績分為組, 得到如下頻數(shù)分布表.
(Ⅰ)估計(jì)男、女生各自的平均分(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值作代表),從計(jì)算結(jié)果看,能否判斷數(shù)學(xué)成績與性別有關(guān);
(Ⅱ)規(guī)定分以上為優(yōu)分(含分),請(qǐng)你根據(jù)已知條件完成列聯(lián)表,并判斷是否有%以上的把握認(rèn)為“數(shù)學(xué)成績與性別有關(guān)”,( ,其中)
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校夏令營有3名男同學(xué)A、B、C和3名女同學(xué)X,Y,Z,其年級(jí)情況如下表,現(xiàn)從這6名同學(xué)中隨機(jī)選出2人參加知識(shí)競賽(每人被選到的可能性相同).
(1)用表中字母列舉出所有可能的結(jié)果;
(2)設(shè)M為事件“選出的2人來自不同年級(jí)且恰有1名男同學(xué)和1名女同學(xué)”,求事件M發(fā)生的概率.
一年級(jí) | 二年級(jí) | 三年級(jí) | |
男同學(xué) | A | B | C |
女同學(xué) | X | Y | Z |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知短軸長為2的橢圓,直線的橫、縱截距分別為,且原點(diǎn)到直線的距離為.
(1)求橢圓的方程;
(2)直線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)且與橢圓交于兩點(diǎn),若橢圓上存在一點(diǎn)滿足,求直線的方程.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線方程.
(Ⅱ)求在區(qū)間上的最小值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求的單調(diào)區(qū)間;
(2)若,都有,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)證明: 且).
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù), .
(Ⅰ)求函數(shù)的最小值.
(Ⅱ)是否存在一次函數(shù),使得對(duì)于,總有,且成立?若存在,求出的表達(dá)式;若不存在,說明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1)求函數(shù)的最大值;
(2)令既有極大值,又有極小值,求實(shí)數(shù)a的范圍;
(3)求證:當(dāng)以.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù), .
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線方程.
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),若曲線上的點(diǎn)都在不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi),試求的取值范圍.
查看答案和解析>>
百度致信 - 練習(xí)冊(cè)列表 - 試題列表
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺(tái) | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com