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已知拋物線C：y2=4x，動直線l：y=k（x+1）與拋物線C交于A，B兩點，O為原點．
（1）求證：
OA
•
OB
是定值；
（2）求滿足
OM
=
OA
+
OB
的點M的軌跡方程．
由
y2=4x
y=k(x+1)
得k2x2+（2k2-4）x+k2=0．?
由k≠0，且△＞0，得-1＜k＜1，且k≠0．?
設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=
4
k2
-2，x1x2=1．?
（1）證明：
OA
•
OB
=x1x2+y1y2
=x1x2+k2（x1+1）（x2+1）?
=（k2+1）x1x2+k2（x1+x2）+k2?
=k2+1+k2（
4
k2
-2）+k2=5，?
∴
OA
•
OB
=5為常數．?
（2）
OM
=
OA
+
OB
=（x1+x2，y1+y2）=（
4
k2
-2，
4
k
）．?
設M（x，y），則
x=
4
k2
-2
y=
4
k
消去k得y2=4x+8．?
又∵x=
4
k2
-2＞2，故M的軌跡方程為y2=4x+8（x＞2）．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，已知拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點為F，A是拋物線上橫坐標為4且位于x軸上方的點． A到拋物線準線的距離等于5，過A作AB垂直于y軸，垂足為B，OB的中點為M（O為坐標原點）．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）過M作MN⊥FA，垂足為N，求點N的坐標；
（Ⅲ）以M為圓心，4為半徑作圓M，點P（m，0）是x軸上的一個動點，試討論直線AP與圓M的位置關系．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知拋物線C：y2=2px（p＞0），F為拋物線C的焦點，A為拋物線C上的動點，過A作拋物線準線l的垂線，垂足為Q．
（1）若點P（0，4）與點F的連線恰好過點A，且∠PQF=90°，求拋物線方程；
（2）設點M（m，0）在x軸上，若要使∠MAF總為銳角，求m的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知拋物線C：y2=2Px（p＞0）上橫坐標為4的點到焦點的距離為5．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）設直線y=kx+b（k≠0）與拋物線C交于兩點A（x1，y1），B（x2，y2），且|y1-y2|=a（a＞0），求證：a2=
16(1-kb)k2
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知拋物線C：y2=4x，點M（m，0）在x軸的正半軸上，過M的直線l與C相交于A、B兩點，O為坐標原點．
（I）若m=1，且直線l的斜率為1，求以AB為直徑的圓的方程；
（II）問是否存在定點M，不論直線l繞點M如何轉動，使得
1
|AM|2
+
1
|BM|2
恒為定值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知拋物線C：y2=8x與點M（-2，2），過C的焦點，且斜率為k的直線與C交于A，B兩點，若
MA
•
MB
=0，則k=（　�。�

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