Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=

1

4

，2Sn=2Sn-1+2an-1+1（n≥2）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b₁=

3

4

，且3bn-bn-1=n（n≥2），證明：{b_n-a_n}為等比數(shù)列，并求{b_n}的通項公式．

Answer 1

考點：等比數(shù)列的性質(zhì),數(shù)列遞推式

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）當n≥2時，由已知得，2S_n-2S_n-1=2a_n=2a_n-1+1，可得{a_n}是以

1

4

為首項，

1

2

為公差的等差數(shù)列，即可求出數(shù)列{a_n}的通項公式
（2）證明

bn-an

bn-1-an-1

=

1

3

，可得：{b_n-a_n}為等比數(shù)列，即可求{b_n}的通項公式．

解答： （1）解：當n≥2時，由已知得，2S_n-2S_n-1=2a_n=2a_n-1+1…（2分）
∴an-an-1=

1

2

，∴{a_n}是以

1

4

為首項，

1

2

為公差的等差數(shù)列，…（4分）
∴an=

1

4

+

1

2

(n-1)=

2n-1

4

…（6分）
（2）證明：∵3b_n=b_n-1+n（n≥2），
∴3bn-3an=bn-1+n-

3(2n-1)

4

=bn-1+

-2n+3

4

=bn-1-

2(n-1)-1

4

=bn-1-an-1…（9分）
∴

bn-an

bn-1-an-1

=

1

3

，
∴{b_n-a_n}為等比數(shù)列．                             …（10分）
又∵b1-a1=

1

2

∴bn-an=

1

2

•

1

3n-1

，
∴bn=

1

2

•

1

3n-1

+

2n-1

4

=

1

4

[(2n-1)+2•31-n]…（12分）

點評：本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項，證明等差數(shù)列、等比數(shù)列是關(guān)鍵．