Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（1-x），g（x）=log_a（1+x），其中a＞0，且a≠1．
（1）判斷f（x）+g（x）的奇偶性，并證明；
（2）判斷f（x）-g（x）的單調(diào)性，并證明；
（3）設(shè)命題p：f（x）-g（x）為減函數(shù)，命題q：x²+ax+2＜0有解．若p或q為真，p且q為假，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,簡易邏輯

分析：（1）根據(jù)奇偶性的定義即可判斷函數(shù)f（x）+g（x）的奇偶性；
（2）令G（x）=f（x）-g（x），求G′（x），討論a的取值，判斷G′（x）的符號，從而判斷函數(shù)G（x）的單調(diào)性，即判斷f（x）-g（x）的單調(diào)性；
（3）分別求出命題p，q下的a的取值，根據(jù)p或q為真，p且q為假，得到p真q假，或p假q真，分別求出這兩種情況下的a的取值，再求并集即可．

解答： 解：（1）令F（x）=f（x）+g（x），根據(jù)已知條件知，F(xiàn)（x）的定義域為（-1，1），F(xiàn)（x）=loga(1-x2)；
∴F（-x）=F（x），∴F（x）為偶函數(shù)，即f（x）+g（x）為偶函數(shù)；
（2）令G（x）=f（x）-g（x）=loga

1-x

1+x

，該函數(shù)定義域為（-1，1）；
∴G′(x)=

2

(x2-1)lna

，
∵x∈（-1，1），∴x²-1＜0；
∴若0＜a＜1，lna＜0，
∴G′（x）＞0，∴此時f（x）-g（x）在（-1，1）上單調(diào)遞增；
若a＞1，lna＞0，G′（x）＜0，
∴此時f（x）-g（x）在（-1，1）上單調(diào)遞減；
（3）若f（x）-g（x）為減函數(shù)，由（2）知，a＞1；
x²+ax+2＜0有解，則△=a²-8＞0，
∵a＞0，且a≠1，∴解得a＞2

2

；
∵p或q為真，p且q為假，∴p，q中一真一假；
若p真q假：則a＞1，且a≤2

2

，∴1＜a≤2

2

；
若p假q真：則a≤1，且a＞2

2

，∴a∈∅；
∴a的取值范圍為(1，2

2

]．

點評：考查奇偶性的定義，及判斷奇偶性的方法，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，p或q，p且q的真假情況，一元二次不等式的解與判別式△的關(guān)系．