已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的右頂點和右焦點分別為A（a，0）、F（c，0），若直線x=
a2
c
上存在點P使得∠APF=30°，則刻雙曲線的離心率的取值范圍是（　�。�
A、（1，
3+
17
2
]
B、[
3+
17
2
，+∞）
C、（1，2]
D、[2，+∞）
考點：雙曲線的簡單性質(zhì)
專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：設(shè)直線x=
a2
c
與x軸的交點為H，設(shè)P（
a2
c
，t）（t＞0），則tan∠APF=tan30°=tan（∠HPF-∠HPA），運用兩角差的正切公式化簡整理，再由基本不等式得到a，c的不等式，再由離心率公式轉(zhuǎn)化為e的不等式，解得即可．
解答： 解：設(shè)直線x=
a2
c
與x軸的交點為H，
設(shè)P（
a2
c
，t）（t＞0），
則tan∠APF=tan30°=tan（∠HPF-∠HPA）=
tan∠HPF-tan∠HPA
1+tan∠HPF•tan∠HPA

=
c-
a2
c
t
-
a-
a2
c
t
1+
(c-
a2
c
)(a-
a2
c
)
t2
=
c-a
t+
(c-
a2
c
)(a-
a2
c
)
t
≤
c-a
2
(c-
a2
c
)(a-
a2
c
)
，
即有
4
3
≤
c2(c-a)2
(c2-a2)(ac-a2)
=
e2(e-1)2
(e2-1)(e-1)
，
即有3e2-4e-4≥0，
解得，e≥2．
故選D．
點評：本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查離心率的求法，考查基本不等式的運用，考查運算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

命題：存在x∈R，“（-2）n＞0”的否定是（　�。�
A、存在x∈R，“（-2）n≤0”
B、存在x∈R，“（-2）n＜0”
C、對任何x∈R，“（-2）n≤0”
D、對任何x∈R，“（-2）n＜0”

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，a，b，c分別是三個內(nèi)角A，B，C的對邊，若a=2，C=
π
4
，cosB=
4
5
，求三角形面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）當(dāng)x=x0時，函數(shù)f（x）=
cosx
sin4
x
4
+cos4
x
4
取得最大值，則cos2x0的值為（　�。�
A、-1
B、-
1
2
C、0
D、1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A（-3，4），B（9，0），C，D分別為線段OA，OB上的動點，且滿足AC=BD
（1）若AC=4，求直線CD的方程；
（2）證明：△OCD的外接圓恒過定點．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=（4，5-
5
sinα）與
b
=（
5
5
，sinα）共線．求：
cos(3π-α)
sin(
π
2
+α)[sin(
7
2
π+α)-1]
+
sin(
5
2
π-α)
cos(3π+α)sin(
5
2
π+α)-sin(
7
2
π+α)
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若將函數(shù)f（x）=x4表示為f（x）=a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+a3（1+x）3+a4（1+x）4其中a0，a1，a2，a3，a4為實數(shù)，則a2=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

求曲線C：x2+y2=
5
2
在A（1，
3
2
）處切線的斜率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=（n-x-xlnx）ln（x+m）（m，n為常數(shù)，且m＞0，n＞0），且y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=-2xln2+2ln2．
（1）求m，n的值；
（2）證明：對任意x＞0，曲線g（x）=（1+e-2）x-f（x）的圖象在第一象限．

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