如圖,焦距為2的橢圓D的兩個頂點分別為A和B,且
AB
n
=(
2
,-1)
共線.
(Ⅰ)求橢圓D的標準方程;
(Ⅱ)過點M(0,m)且斜率為
2
的直線l與橢圓D有兩個不同的交點P和Q,若以PQ為直徑的圓經(jīng)過原點O,求實數(shù)m的值.
分析:(Ⅰ)設(shè)橢圓E的標準方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a>b>0)
,由已知得A(a,0)、B(0,b),故
AB
=(-a,b)
,由
AB
n
=(
2
,-1)
共線,知a=
2
b
,由此能求出橢圓E的標準方程.
(Ⅱ)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),把直線方程y=
2
x+m
代入橢圓方程
x2
2
+y2=1
,得,5x2+4
2
mx+2m2-2=0
,故x1+x2=-
4
2
m
5
,x1x2=
2m2-2
5
,△=32m2-20(2m2-2)=-8m2+40>0,故m2<5.由以PQ為直徑的圓經(jīng)過原點O知
OP
OQ
=0
,由此能求出實數(shù)m的值.
解答:解:(Ⅰ)設(shè)橢圓E的標準方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a>b>0)
,
由已知得A(a,0)、B(0,b),
AB
=(-a,b)
,
AB
n
=(
2
,-1)
共線,
a=
2
b
,又a2-b2=1(3分)
∴a2=2,b2=1,
∴橢圓E的標準方程為
x2
2
+y2=1
(5分)
(Ⅱ)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),
把直線方程y=
2
x+m
代入橢圓方程
x2
2
+y2=1
,
消去y,得,5x2+4
2
mx+2m2-2=0
,
x1+x2=-
4
2
m
5
x1x2=
2m2-2
5
(7分)
△=32m2-20(2m2-2)=-8m2+40>0,
∴m2<5(8分)
∵以PQ為直徑的圓經(jīng)過原點O,
OP
OQ
=0
,即x1x2+y1y2=0(9分)
y1y2=(
2
x1+m)(
2
x1+m)=2x1x2+
2
m(x1+x2)+m2=
4m2-4
5
-
8m2
5
+m2

由x1x2+y1y2=0得
4m2-4-8m2+5m2+2m2-2
5
=0
,
∴m2=2<5(11分)
m=±
2
(12分)
點評:本題考查橢圓標準方程的求法和求實數(shù)的值,綜合性強,難度大,是高考的重點,解題時要認真審題,仔細解答.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•河南模擬)如圖,焦距為2的橢圓E的兩個頂點分別為A和B,且
AB
n
=(
2
,-1)
共線.
(Ⅰ)求橢圓E的標準方程;
(Ⅱ)若直線y=kx+m與橢圓E有兩個不同的交點P和Q,且原點O總在以PQ為直徑的圓的內(nèi)部,求實數(shù)m的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年河南省豫南九校高三第四次聯(lián)考理科數(shù)學(xué) 題型:解答題

(本小題滿分12分)

如圖,焦距為2的橢圓E的兩個頂點分別為,且共線.

(Ⅰ)求橢圓E的標準方程;

(Ⅱ)若直線與橢圓E有兩個不同的交

PQ,且原點O總在以PQ為直徑的圓的內(nèi)部,求

實數(shù)m的取值范圍.

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年吉林省吉林市高三上學(xué)期期末考試理科數(shù)學(xué) 題型:解答題

(.(本小題滿分12分)

如圖,焦距為2的橢圓E的兩個頂點分別為,且共線.

(Ⅰ)求橢圓E的標準方程;

(Ⅱ)若直線與橢圓E有兩個不同的交

PQ,且原點O總在以PQ為直徑的圓的內(nèi)部,求

實數(shù)m的取值范圍.

 

 

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年吉林省吉林市高三(上)期末數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

如圖,焦距為2的橢圓E的兩個頂點分別為A和B,且共線.
(Ⅰ)求橢圓E的標準方程;
(Ⅱ)若直線y=kx+m與橢圓E有兩個不同的交點P和Q,且原點O總在以PQ為直徑的圓的內(nèi)部,求實數(shù)m的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案