如圖,P-ABCD是正四棱錐,ABCD-A1B1C1D1是正方體,其中AB=2,PA=
(1)求證:PA⊥B1D1;
(2)求平面PAD與平面BDD1B1所成銳二面角的余弦值.
【答案】分析:如圖,以D1為原點,D1A1所在直線為x軸,D1C1所在直線為y軸,D1D所在直線為z軸建立空間直角坐標系,給出圖中各點的坐標,
(1)先計算出,的坐標,驗證其內(nèi)積為0即可得出PA⊥B1D1
(2)平面BDD1B1的法向量為=(-2,2,0).故再求出平面PAD的法向量,設所求銳二面角為θ,由公式cosθ=
解答:解:以D1為原點,D1A1所在直線為x軸,D1C1所在直線為y軸,D1D所在直線為z軸建立空間直角坐標系,
則D1(0,0,0),A1(2,0,0),B1(2,2,0),C1(0,2,0),
D(0,0,2),A(2,0,2),B(2,2,2),C(0,2,2),
P(1,1,4).
(1)證明:∵=(-1,1,2),=(2,2,0),
=-2+2+0=0,
∴PA⊥B1D1
(2)平面BDD1B1的法向量為=(-2,2,0).=(2,0,0),=(1,1,2).
設平面PAD的法向量為=(x,y,z),則,
.取=(0,-2,1),
設所求銳二面角為θ,則
cosθ===
點評:本題考查用空間向量求直線與平面的夾角以及用空間向量證明面面垂直,正確解題的前提是理解向量內(nèi)積與兩直線位置的對應關系及兩平面法向量的夾角的余弦的絕對值即兩平面夾角的余弦值,了解知識之間的銜接點,是正確轉(zhuǎn)化的關鍵.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,P-ABCD是正四棱錐,ABCD-A1B1C1D1是正方體,其中AB=2,PA=
6

(1)求證:PA⊥B1D1
(2)求平面PAD與平面BDD1B1所成銳二面角的余弦值.

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精英家教網(wǎng)如圖,P-ABCD是正四棱錐,ABCD-A1B1C1D1是正方體,其中AB=2,PA=
6
.平面PAD與平面BDD1B1所成的銳二面角θ的余弦值為(  )
A、
10
10
B、
5
5
C、
15
5
D、
10
5

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,P-ABCD是正四棱錐,ABCD-A1B1C1D1是正方體,其中AB=2,PA=
6
,則B1到平面PAD的距離為
6
5
5
6
5
5

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,P-ABCD是正四棱錐,PA=
3
,AB=2.
(1)求證:平面PAC⊥平面PBD;
(2)求該四棱錐的體積.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,P-ABCD是底面水平放置且△PAB在正面的正四棱錐,已知PA=
3
,AB=2.
(1)畫出這個正四棱錐的正視圖(或稱主視圖),并直接標明正視圖各邊的長;
(2)求該四棱錐的體積.

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