Question

11．?dāng)?shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁=1，數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列且$_{n}=\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$，若$_{10}_{11}=\root{5}{2}$則a₂₁=4．

Answer 1

分析 由已知結(jié)合$_{n}=\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$，得到a₂₁=b₁b₂…b₂₀，結(jié)合$_{10}_{11}=\root{5}{2}$及等比數(shù)列的性質(zhì)求得a₂₁．

解答 解：由已知結(jié)合b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$，a₁=1，得b₁=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=a₂．
b₂=$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$，a₃=a₂b₂=b₁b₂．
b₃=$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$，a₄=a₃b₃=b₁b₂b₃．
…
a_n=b₁b₂…b_n-1．
∴a₂₁=b₁b₂…b₂₀．
∵數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，
∴a₂₁=（b₁b₂₀）（b₂b₁₉）…（b₁₀b₁₁）=（b₁₀b₁₁）¹⁰=（$\root{5}{2}$）¹⁰=4．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列是解決本題的關(guān)鍵．