【題目】已知橢圓 的左、右頂點(diǎn)分別為,上、下頂點(diǎn)分別為、 為坐標(biāo)原點(diǎn),四邊形的面積為,且該四邊形內(nèi)切圓的方程為

(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)若、是橢圓上的兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn),直線、的斜率之積等于,試探求的面積是否為定值,并說(shuō)明理由.

【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ).

【解析】試題分析:

(1)利用題意求得 ,則橢圓的方程為: ;

(2)分別考查斜率存在和斜率不存在兩種情況,求得的面積為定值.

試題解析:

(Ⅰ)四邊形的面積為,又可知四邊形為菱形,

,即

由題意可得直線方程為: ,即

四邊形內(nèi)切圓方程為

圓心到直線的距離為,即

由①②解得:

橢圓的方程為:

(Ⅱ)若直線的斜率存在,設(shè)直線的方程為, , ,

得:

直線與橢圓相交于兩個(gè)不同的點(diǎn),

得:

由韋達(dá)定理:

直線的斜率之積等于,

滿足③

到直線的距離為,

所以的面積

若直線的斜率不存在, 關(guān)于軸對(duì)稱

設(shè), ,則

在橢圓上, ,

所以的面積

綜上可知, 的面積為定值.

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