Question

袋中有1個白球和4個黑球，且球的大小、形狀都相同．每次從其中任取一個球，若取到白球則結束，否則，繼續(xù)取球，但取球總次數不超過k次（k≥5）．
（Ⅰ）當每次取出的黑球不再放回時，求取球次數ξ的數學期望與方差；
（Ⅱ）當每次取出的黑球仍放回去時，求取球次數η的分布列與數學期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,離散型隨機變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）當每次取出的黑球不再放回時，ξ的可能取值為1，2，3，4，5，由題意知知P(ξ=n)=

1

5

，n=1，2，3，4，5．由此能求出取球次數ξ的數學期望與方差．
（Ⅱ）當每次取出的黑球仍放回去時，直到取球k次結束，η的可能取值是1，2，…，k，由此能求出取球次數η的分布列與數學期望．

解答： 解：（Ⅰ）當每次取出的黑球不再放回時，
ξ的可能取值為1，2，3，4，5，
由題意知知P(ξ=n)=

1

5

，n=1，2，3，4，5．
∴Eξ=1×

1

5

+2×

1

5

+3×

1

5

+4×

1

5

+5×

1

5

=3，Dξ=(1-3)2×

1

5

+(2-3) 2×

1

5

+(3-3)2×

1

5

+(4-3)2×

1

5

+(5-3)2×

1

5

=2．
（Ⅱ）當每次取出的黑球仍放回去時，直到取球k次結束，
η的可能取值是1，2，…，k，
所求概率分布列為

η	1	2	3	…	k-1	k
P	1 5	4 5 • 1 5	( 4 5 )2• 1 5	…	( 4 5 )k-2• 1 5	( 4 5 )k-1

Eη=

1

5

[1+2(

4

5

)+3(

4

5

)2+…+(k-1)•(

4

5

)k-2]+k(

4

5

)k-1 
∴

4

5

Eη=

1

5

[1(

4

5

)+2(

4

5

)2+…+(k-2)(

4

5

)k-2+(k-1)(

4

5

)k-1]+k(

4

5

)k，
上述兩式相減，整理得Eη=1+(

4

5

)+(

4

5

)2+…+(

4

5

)k-2+(

4

5

)k-1=5[1-(

4

5

)k]．

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列、數學期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型．