Question

橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個焦點F₁（-2，0），右準線方程x=8．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若M為右準線上一點，A為橢圓C的左頂點，連接AM交橢圓于點P，求

PM

AP

的取值范圍；
（3）設(shè)圓Q：（x-t）²+y²=1（t＞4）與橢圓C有且只有一個公共點，過橢圓C上一點B作圓Q的切線BS、BT，切點為S，T，求

BS

•

BT

的最大值．

Answer 1

分析：（1）由題意知c=2，

a2

c

=8，由此得a²=16，b²=12，從而能夠得到所求橢圓方程．
（2）設(shè)P點橫坐標為x₀，則

PM

AP

=

8-x0

x0+4

=

12

x0+4

-1，由-4＜x₀≤4，知

PM

AP

=

8-x0

x0+4

=

12

x0+4

-1≥

1

2

，由此能得到

PM

AP

的取值范圍．
（3）由題意得圓心Q為（5，0），設(shè)BQ=x，則

BS

•

BT

=|

BS

|•|

BT

|cos∠SBT=|

BS

|•|

BT

|(1-2sin2∠SBQ)=(x2-1)[1-2(

1

x

)2]=x2+

2

x2

-3，由此能得到

BS

•

BT

的最大值．

解答：解：（1）由題意得，c=2，

a2

c

=8得，a²=16，b²=12，
∴所求橢圓方程為

x2

16

+

y2

12

=1；（4分）
（2）設(shè)P點橫坐標為x₀，則

PM

AP

=

8-x0

x0+4

=

12

x0+4

-1，
∵-4＜x₀≤4，∴

PM

AP

=

8-x0

x0+4

=

12

x0+4

-1≥

1

2

．
∴

PM

AP

的取值范圍是[

1

2

，+∞)；（9分）
（3）由題意得，t=5，即圓心Q為（5，0），
設(shè)BQ=x，則

BS

•

BT

=|

BS

|•|

BT

|cos∠SBT
=|

BS

|•|

BT

|(1-2sin2∠SBQ)
=(x2-1)[1-2(

1

x

)2]
=x2+

2

x2

-3，
∵1＜BQ≤9，即1＜x≤9，∴1＜x²≤81，
易得函數(shù)y=x2+

2

x2

在(1，

2

)上單調(diào)遞減，在(

2

，81]上單調(diào)遞增，
∴x²=81時，(

BS

•

BT

)max=

6320

81

．（14分）

點評：本題考查圓錐曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要認真審題，仔細解答，注意公式的合理運用．