Question

已知函數(shù)f(x)＝x3＋x－16.

(1)求曲線y＝f(x)在點(2，－6)處的切線的方程；

(2)直線l為曲線y＝f(x)的切線，且經(jīng)過原點，求直線l的方程及切點坐標；

(3)如果曲線y＝f(x)的某一切線與直線y＝－x＋3垂直，求切點坐標與切線的方程。

Answer 1

解　(1)可判定點(2，－6)在曲線y＝f(x)上．

∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1.

∴f′(x)在點(2，－6)處的切線的斜率為k＝f′(2)＝13.

∴切線的方程為y＝13(x－2)＋(－6)，

即y＝13x－32.

(2)法一　設切點為(x0，y0)，

則直線l的斜率為f′(x0)＝3x＋1，

∴直線l的方程為y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16，

又∵直線l過點(0,0)，∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16，

整理得，x＝－8，∴x0＝－2，

∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13.

∴直線l的方程為y＝13x，切點坐標為(－2，－26.)

法二　設直線l的方程為y＝kx，切點為(x0，y0)，

則k＝

又∵k＝f′(x0)＝3x＋1，∴＝3x＋1，

解之得x0＝－2，

∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13.

∴直線l的方程為y＝13x，切點坐標為(－2，－26)．

(3)∵切線與直線y＝－x＋3垂直，

∴切線的斜率k＝4.

設切點的坐標為(x0，y0)，則f′(x0)＝3x＋1＝4，

∴x0＝±1，

∴

切線方程為y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.

即y＝4x－18或y＝4x－14.