Question

已知等差數(shù)列l(wèi)gx₁，lgx₂，…，lgx_n的第r項為s，第s項為r（0＜r＜s），則x₁+x₂+…+x_n=

10r+s

9

(1-

1

10n

)

．

Answer 1

分析：設此等差數(shù)列的公差為d，利用等差數(shù)列l(wèi)gx₁，lgx₂，…，lgx_n的第r項為s，第s項為r（0＜r＜s），可得s=lgx_r=lgx₁+（r-1）d，r=lgx_s=lgx₁+（s-1）d．兩式相減得s-r=（r-s）d，解得d=-1．可得lgx₁=s+r-1，得到x1=10s+r-1．于是lgx_n=lgx₁+（n-1）×（-1），化為xn=101-nx1．代入所求的式子，利用等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答：解：設此等差數(shù)列的公差為d，
∵等差數(shù)列l(wèi)gx₁，lgx₂，…，lgx_n的第r項為s，第s項為r（0＜r＜s），
∴s=lgx_r=lgx₁+（r-1）d，r=lgx_s=lgx₁+（s-1）d．
兩式相減得s-r=（r-s）d，解得d=-1．
∴l(xiāng)gx₁=s+r-1，得到x1=10s+r-1．
∴l(xiāng)gx_n=lgx₁+（n-1）×（-1），化為xn=101-nx1．
∴x₁+x₂+…+x_n=x1(1+

1

10

+

1

102

+…+

1

10n-1

)=

1- 1 10n

1- 1 10

×10s+r-1=

10r+s

9

(1-

1

10n

)．
故答案為：

10r+s

9

(1-

1

10n

)．

點評：本題考查了等差數(shù)列的通項公式及其性質(zhì)、等比數(shù)列的前n項和公式、對數(shù)的運算性質(zhì)等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于難題．