Question

設(shè)函數(shù)，數(shù)列滿足．
⑴求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
⑵設(shè)，若對恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
⑶是否存在以為首項(xiàng)，公比為的數(shù)列，，使得數(shù)列中每一項(xiàng)都是數(shù)列中不同的項(xiàng)，若存在，求出所有滿足條件的數(shù)列的通項(xiàng)公式；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）；（2）；（3）存在，理由詳見解析．

解析試題分析：（1）將利用進(jìn)行化簡，得到關(guān)于與的遞推關(guān)系式，根據(jù)其特點(diǎn)，求其通項(xiàng)公式；（2）本題關(guān)鍵是求出，根據(jù)其表達(dá)式的特點(diǎn)，可每兩項(xiàng)組合后提取公因式后，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和，但要注意對，分奇偶性討論，求出后，對恒成立再分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求最值問題，容易求出實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）此類問題，一般先假設(shè)存在符合條件的數(shù)列，解出來則存在，如果得到矛盾的結(jié)果，則假設(shè)錯(cuò)誤，這樣的數(shù)列則不存在.
試題解析：⑴因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/58/b/1velp3.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以．                            2分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/80/a/mbocy.png" style="vertical-align:middle;" />，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列．
所以．                            4分
⑵①當(dāng)時(shí)，



．                         6分
②當(dāng)時(shí)，


．                8分
所以 要使對恒成立，
只要使為偶數(shù)恒成立．
只要使，為偶數(shù)恒成立，故實(shí)數(shù)的取值范圍為． 10分
⑶由，知數(shù)列中每一項(xiàng)都不可能是偶數(shù)．
①如存在以為首項(xiàng)，公比為2或4的數(shù)列，，
此時(shí)中每一項(xiàng)除第一項(xiàng)外都是偶數(shù)，故不存在以為首項(xiàng)，公比為偶數(shù)的數(shù)列． 12分
②當(dāng)時(shí)，顯然不存在這樣的數(shù)列．
當(dāng)時(shí)，若存在以為首項(xiàng)，公比為3的數(shù)列，．
則，，，．
所以滿足條件的數(shù)列的通項(xiàng)公式為．          16分
考點(diǎn)：等差數(shù)列、等比數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合運(yùn)用.