Question

如圖所示的幾何體ABCDFE中，△ABC，△DFE都是等邊三角形，且所在平面平行，四邊形BCED為正方形，且所在平面垂直于平面ABC．
（Ⅰ）證明：平面ADE∥平面BCF；  
（Ⅱ）求二面角D-AE-F的正切值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取BC的中點(diǎn)O，ED的中點(diǎn)G，連接AO，OF，F(xiàn)G，AG，則AO⊥BC，利用面面垂直的性質(zhì)，可得線面垂直，從而可線線平行，進(jìn)而可得線線平行，利用面面平行的判定，即可得到結(jié)論；
（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，確定平面ADE、平面AEF的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式，即可求得結(jié)論．

解答：（Ⅰ）證明：取BC的中點(diǎn)O，ED的中點(diǎn)G，連接AO，OF，F(xiàn)G，AG，則AO⊥BC，
又平面BCED⊥平面ABC，平面BCED∩平面ABC=BC
所以AO⊥平面BCED，
同理FG⊥平面BCED，
所以AO∥FG，
又AO=FG，
所以四邊形AOFG為平行四邊形，所以AG∥OF，
又DE∥BC，所以平面ADE∥平面BCF．…（6分）
（Ⅱ）解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)BC=2，則A(

3

，0，0)，D（0，1，2），E（0，-1，2），F(-

3

，0，2)，

AD

=(-

3

，1，2)，

AE

=(-

3

，-1，2)，

AF

=(-2

3

，0，2)．
設(shè)平面ADE的一個(gè)法向量是

n

=（x，y，z），則

n • AD =0 n • AE =0

，∴

- 3 x+y+2z=0 - 3 x-y+2z=0

，∴

z= 3 2 x y=0

，
令x=2，得

n

=(2，0，

3

)．…（9分）
設(shè)平面AEF的一個(gè)法向量是

m

=（x′，y′，z），則

m • AE =0 m • AF =0

，∴

- 3 x′-y′+2z′=0 -2 3 x′+2z′=0

，∴

z′= 3 x′ y′= 3 x′

令x′=1，得

m

=(1，

3

，

3

)．
所以cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

2+3

4+3 × 1+3+3

=

5

7

，
易知二面角D-AE-F為銳二面角，故其余弦值為

5

7

，所以二面角D-AE-F的正切值為

2 6

5

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查面面平行的判定，考查面面垂直的性質(zhì)，考查面面角，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力．