Question

19．為了讓更多的人參與2010年在上海舉辦的“世博會”，上海某旅游公司面向國內(nèi)外發(fā)行一定數(shù)量的旅游優(yōu)惠卡，其中向境外人士發(fā)行的是世博金卡（簡稱金卡），向境內(nèi)人士發(fā)行的是世博銀卡（簡稱銀卡）．現(xiàn)有一個由36名游客組成的旅游團到上海參觀旅游，其中27名境外游客，其余是境內(nèi)游客．在境外游客中有$\frac{1}{3}$持金卡，在境內(nèi)游客中有$\frac{2}{3}$持銀卡．．
（Ⅰ）在該團中隨機采訪3名游客，求恰有1人持金卡，至多1人持銀卡的概率；
（Ⅱ）在該團的境內(nèi)游客中隨機采訪3名游客，設(shè)其中持銀卡人數(shù)為隨機變量ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

分析 （I）由題意得，境外游客中有9人持金卡；境內(nèi)游客共有9人，其中6人持銀卡；旅游團中共有21人不持卡，由此利用互斥事件概率加法公式能求出在該團中隨機采訪3人，恰有1人持金卡，至多1人持銀卡的概率．
（Ⅱ）由已知得ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ．

解答 解：（I）由題意得，境外游客中有9人持金卡；境內(nèi)游客共有9人，其中6人持銀卡；
旅游團中共有21人不持卡．…（1分）
設(shè)“所采訪的3人中，恰有1人持金卡，至多1人持銀卡”為事件A，
“所采訪的3人中，恰有1人持金卡，0人持銀卡”為事件B₁，
“所采訪的3人中，恰有1人持金卡，1人持銀卡”為事件B₂．
則P（A）=P（B₁）+P（B₂）=$\frac{{C}_{9}^{1}{C}_{21}^{2}}{{C}_{36}^{3}}+\frac{{C}_{9}^{1}{C}_{6}^{1}{C}_{21}^{1}}{{C}_{36}^{3}}$=$\frac{36}{85}$，…（5分）
∴在該團中隨機采訪3人，恰有1人持金卡，至多1人持銀卡的概率是$\frac{36}{85}$．…（6分）
（Ⅱ）由已知得ξ的可能取值為0，1，2，3
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{1}{84}$，P（ξ=1）=$\frac{{C}_{6}^{1}{C}_{3}^{2}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{3}{14}$．
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{6}^{2}{C}_{3}^{1}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{15}{28}$，P（ξ=3）=$\frac{{C}_{6}^{3}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{5}{21}$，（每個1分）　…（10分）
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{84}$	$\frac{3}{14}$	$\frac{15}{28}$	$\frac{5}{21}$

…（11分）
∴Eξ=$0×\frac{1}{84}+1×\frac{3}{14}+2×\frac{15}{28}+3×\frac{5}{21}$=2．…（13分）

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．