Question

已知函數(shù)f（x）=sinωx+cos（ωx+

π

6

），其中x∈R，ω＞0．
（1）當(dāng)ω=1時(shí)，求f（

π

3

）的值；
（2）當(dāng)f（x）的最小正周期為π，求f（x）在區(qū)間[0，

π

4

]上取得最大值時(shí)x的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）根據(jù)ω=1，得到函數(shù)f（x）=sinx+cos（x+

π

6

），然后，直接求解f（

π

3

）的值；
（2）首先，化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）=sin（ωx+

π

3

），然后，結(jié)合周期公式，得到ω=2，再結(jié)合x∈[0，

π

4

]，從而求解相應(yīng)的x的值．

解答： 解（1）∵ω=1，
∴函數(shù)f（x）=sinx+cos（x+

π

6

），
∴f（

π

3

）=sin

π

3

+cos（

π

3

+

π

6

）=

3

2

+0=

3

2

，
∴f（

π

3

）的值

3

2

；
（2）∵函數(shù)f（x）=sinωx+cos（ωx+

π

6

）
=

1

2

sinωx+

3

2

cosωx
=sin（ωx+

π

3

），
∵T=

2π

ω

=π，
∴ω=2，
∴f（x）=sin（2x+

π

3

），
∵x∈[0，

π

4

]，
∴（2x+

π

3

）∈[

π

3

，

5π

6

]，
∴當(dāng)2x+

π

3

=

π

2

時(shí)，即x=

π

12

時(shí)，f（x）在區(qū)間[0，

π

4

]上取得最大值1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了簡(jiǎn)單角的三角函數(shù)值的求解方法，兩角和與差的正弦、余弦公式，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)，考查了運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．