Question

某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品的成本費共由三部分組成：①原材料費每件50元；②職工工資支出7500+20x元；③電力與機器保養(yǎng)等費用為 x²-30x+6000元（其中x為產(chǎn)品件數(shù)）．
（1）把每件產(chǎn)品的成本費P（x）（元）表示成產(chǎn)品件數(shù)x的函數(shù)，并求每件產(chǎn)品的最低成本費；
（2）如果該產(chǎn)品是供不應求的商品，根據(jù)市場調(diào)查，每件產(chǎn)品的銷售價為Q（x）=1240-

1

30

x²，試問當產(chǎn)量處于什么范圍時，工廠4處于生產(chǎn)潛力提升狀態(tài)（生產(chǎn)潛力提升狀態(tài)是指如果產(chǎn)量再增加，則獲得的總利潤也將隨之增大）？

Answer 1

考點：函數(shù)模型的選擇與應用

專題：應用題,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）根據(jù)每件產(chǎn)品的成本費P（x）等于三部分成本和，建立函數(shù)關(guān)系，再利用基本不等式求出最值即可；
（2）設總利潤為y元，根據(jù)總利潤=總銷售額-總的成本求出總利潤函數(shù)，利用函數(shù)與導數(shù)知識方法求解．

解答： 解：（1）P（x）=50+

7500+20x

x

+

x2-30x+600

x

=

8100

x

+x+40．
由基本不等式得P（x）≥2

8100 x •x

+40=220．當且僅當

8100

x

=x，即x=90時，等號成立．
所以P（x）=

8100

x

+x+40．每件產(chǎn)品的最低成本費為220 元．
（2）設總利潤為y=f（x）=xQ（x）-xP（x）=-

1

30

x3-x2+1200x-8100，
f′（x）=-

1

10

（x-100）（x+120）
當f′（x）＞0時，0＜x＜100，
所以當產(chǎn)量處于{x|x∈N^*，且1≤x＜100}時，工廠處于生產(chǎn)潛力提升狀態(tài)．

點評：本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應用，以及函數(shù)與導數(shù)知識方法，同時考查了建模的能力，屬于中檔題．