Question

已知動圓過定點M（0，1），且與直線L：y=-1相切．
（1）求動圓圓心C的軌跡的方程；
（2）設(shè)A、B是軌跡C上異于原點O的兩個不同點，直線OA和OB的傾斜角分別
為α和β，當α，β變化且α+β=θ（0＜θ＜π且θ≠

π

2

）為定值時，證明：直線AB恒過定點，并求出該定點的坐標．

Answer 1

分析：（1）依據(jù)拋物線的定義即可得C的軌跡的方程；
（2）欲求證直線AB恒過定點，可先根據(jù)條件求出帶參數(shù)θ的直線AB的方程，再結(jié)合θ為定值即可證得．

解答：解：（1）由拋物線定義知C的軌跡是拋物線，且p=2，
∴動圓圓心C的軌跡方程：x²=4y（6分）
（2）設(shè)點A(x1，

x12

4

)，B(x2，

x 2 2

4

)
則直線AB的方程為：y-

x 2 1

4

=

x 2 2 4 - x 2 1 4

x2-x1

(x-x1)，
化簡得：y=

x2+x1

4

x-

x1x2

4

（9分）
又因為tanα=

x 2 1 4

x1

=

x1

4

，tanβ=

x 2 2 4

x2

=

x2

4

由α+β=θ，得tanθ=tan(α+β)=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

x1+x2 4

1- x1x2 16

則tanθ=

x1+x2 4

1- x1x2 16

，
所以

x1x2

4

=4-

x1+x2

tanθ

（12分）
所以直線AB方程為y=

x2+x1

4

x-4+

x1x2

tanθ

即y=

x2+x1

4

(x+

4

tanθ

)-4
所以直線AB過定點(-

4

tanθ

，-4)．（15分）

點評：定義法：運用解析幾何中一些常用定義（例如圓錐曲線的定義），可從曲線定義出發(fā)直接寫出軌跡方程，或從曲線定義出發(fā)建立關(guān)系式，從而求出軌跡方程．