設(shè)拋物線y2＝2px(p＞ 0)的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn).點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上，且BC∥x軸.證明直線 AC經(jīng)過原點(diǎn)O.

思路解析：本題的解法很多，采用坐標(biāo)方法進(jìn)行代數(shù)推理，可以證明OA與OC的斜率相等，證明AO+OC=AC，證明OC與BF的交點(diǎn)A在拋物線上，證明AC的方程形如y=φ(p)x，等等，每種證明又有不同的表述形式，甚至可以用參數(shù)方程法，采用平面幾何方法進(jìn)行推理.

證法一：如圖所示，

因?yàn)閽佄锞�y2=2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F（，0），所以經(jīng)過點(diǎn)F的直線AB的方程可設(shè)為x=my+，代入拋物線方程得y2-2pmy-p2=0.

若記A(x1,y1)，B(x2,y2)，則y1,y2是該方程的兩個(gè)根，所以y1y2=-p2.

因?yàn)锽C∥x軸，且點(diǎn)C在準(zhǔn)線x=-上，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-，y2）.

故直線CO的斜率為

k===,

即k也是直線OA的斜率，所以直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O.

證法二：設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2).

因?yàn)锽C∥x軸，所以C（-，y2）.

因?yàn)锳、B在拋物線上，

所以y12=2px1,y22=2px2.

又因?yàn)橹本�AB過焦點(diǎn)F，

所以kAF=kBF，即=.

所以.

所以y1y2(y2-y1)=p2(y1-y2).

因?yàn)閥1≠y2，所以y1y2=-p2.

因?yàn)閗OC=====kOA,

所以直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O.

證法三：因?yàn)閽佄锞�y2=2px(p＞0)的焦點(diǎn)為（,0），

所以設(shè)直線AB的方程為x=ky+.

由

消去x得y2-2pky-p2=0.

所以yA·yB=-p2.

因?yàn)锳（,yA）,C(-,yB),即C(-,-)，

所以直線AC的方程為=.

化簡得y=x.

顯然，原點(diǎn)O適合此方程，所以原點(diǎn)O在直線AC上.

證法四：設(shè)B（a，b），則C(-,b)，F(xiàn)(,0),

所以直線BF的方程為y(a-)=b(x-)，

直線OC的方程為y=-x.

所以

消y得-x(a-)=b(x-).

所以所以A′(，-).

因?yàn)锽在拋物線y2=2px上，所以b2=2ap.

所以A′(，-).

所以(-)2==2p·.

所以A′在拋物線y2=2px上.所以A′與A重合，即直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O.

證法五：如下圖所示，記x軸與拋物線準(zhǔn)線l的交點(diǎn)為E，過A作AD⊥l，D是垂足，則AD∥FE∥BC.

連結(jié)AC，與EF相交于點(diǎn)N，則，.

根據(jù)拋物線的性質(zhì),得|AF|=|AD|，|BF|=|BC|.

所以|EN|===|NF|,

即點(diǎn)N是EF的中點(diǎn)，與拋物線的頂點(diǎn)O重合，所以直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O.

證法六：如下圖所示，

設(shè)準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)E，過A點(diǎn)作AM⊥x軸于M.

設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，則C（-,y2）,所以=.

由證法二知y1=，

又，

所以=.所以△AOM∽△COE.所以∠AOM=∠COE.

故A、O、C三點(diǎn)共線，即直線AC過原點(diǎn)O.


練習(xí)冊系列答案
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設(shè)拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，直線l過點(diǎn)F交拋物線于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M在拋物線的準(zhǔn)線上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．

(1)求證：y1y2＝－p2；

(2)求證：直線MA、MF、MB的斜率成等差數(shù)列．

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(1)若y1y2＝－4，求拋物線的方程；

(2)當(dāng)b＝2時(shí)，求證：a＋c為定值．

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