如圖,PC⊥平面ABC,DA∥PC,∠ACB=90°,E為PB的中點,AC=AD=BC=1,PC=2.
(I)求證:DE∥平面ABC:
(II)求證:PD⊥平面BCD;
(III)設(shè)Q為PB上一點,,試確定λ的值使得二面角Q-CD-B為45°.

【答案】分析:(I)建立如圖所示的空間直角坐標系,可知為平面ABC的一個法向量,利用?,DE?平面ABC,?DE∥平面ABC即可證明.
(II)利用=0?PD⊥BC,?PD⊥CD.及BC∩DC=C,即可證明PD⊥平面BCD.
(III)由(II)可知:=(1,0,-1)為平面BCD的法向量,由,λ∈(0,1),可得Q(0,λ,-2λ+2).再求出平面QCD的一個法向量,利用兩個法向量的夾角即可得出二面角的余弦值.
解答:(I)證明:建立如圖所示的空間直角坐標系,則B(0,1,0),D(1,0,1),P(0,0,2),E,

可知為平面ABC的一個法向量,
,∴
∵DE?平面ABC,∴DE∥平面ABC.
(II)證明:∵,=(0,1,0),=(1,0,1).
=0,
∴PD⊥BC,PD⊥CD.∵BC∩DC=C,
∴PD⊥平面BCD.
(III)解:由(II)可知:=(1,0,-1)為平面BCD的法向量,
,,λ∈(0,1).
∴Q(0,λ,-2λ+2).
設(shè)平面QCD的法向量為,由,得,
令z=1,則x=-1,,∴,λ∈(0,1).
∴cos45°===,
解得
點評:本題綜合考查了通過建立空間直角坐標系利用向量證明線面平行與垂直、利用平面的法向量求二面角的余弦值等基礎(chǔ)知識與基本技能,考查了空間想象能力、推理能力和計算能力.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,PC⊥平面ABC,∠ACB=90°,DAB中點,

AC=BC=PC=2.

(Ⅰ)求證:AB⊥平面PCD;

(Ⅱ)求異面直線PDBC所成角的大;

(Ⅲ)設(shè)M為線段PA上的點,且AP=4AM,求點A到平面BCM的距離.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:河北省2009-2010學(xué)年高二第四次考試(數(shù)學(xué))試題 題型:解答題

如圖,PC⊥平面ABC,∠ACB=90°,DAB中點,

AC=BC=PC=2.

(Ⅰ)求證:AB⊥平面PCD;

(Ⅱ)求異面直線PDBC所成角的大小;

(Ⅲ)設(shè)M為線段PA上的點,且AP=4AM,求點A到平面BCM的距離.

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:河北省期末題 題型:解答題

如圖,PC⊥平面ABC,∠ACB=90°,D為AB中點,AC=BC=PC=2。
(1)求異面直線PD與BC所成角的大小;
(2)設(shè)M為線段PA上的點,且AP=4AM,求點A 到平面BCM的距離。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,PC⊥平面ABC,∠ACB=90°,DAB中點, AC=BC=PC=2.

(Ⅰ)求證:AB⊥平面PCD;

(Ⅱ)求異面直線PDBC所成角的大;

(Ⅲ)設(shè)M為線段PA上的點,且AP=4AM,求點A到平面BCM的距離.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,PC⊥平面ABC,∠ACB=90°,DAB中點,AC=BC=PC=2.

   (I)求證:AB⊥平面PCD;

   (II)求異面直線PDBC所成的角的余弦值;

   (III)求點C到平面PAD的距離.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案