Question

12．已知A，B分別為橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左、右頂點，不同兩點P，Q在橢圓C上，且關于x軸對稱，設直線AP，BQ的斜率分別為m，n，則當$\frac{a}-\frac{1}{3mn}$取最大值時，橢圓C的離心率為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{5}}}{3}$

Answer 1

分析 設P（x₀，y₀），則Q（x₀，-y₀），求出y₀²．通過A（-a，0），B（a，0），利用斜率計算公式得到：mn的表達式，化簡$\frac{a}-\frac{1}{3mn}$，利用二次函數最值求解即可．

解答 解：設P（x₀，y₀），則Q（x₀，-y₀），y₀²=$\frac{^{2}（{a}^{2}-{{x}_{0}}^{2}）}{{a}^{2}}$．
A（-a，0），B（a，0），
則m=$\frac{{y}_{0}}{a+{x}_{0}}$，n=$\frac{{y}_{0}}{a-{x}_{0}}$，
∴mn=$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{a}^{2}-{{x}_{0}}^{2}}$=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，
∴$\frac{a}-\frac{1}{3mn}$=$\frac{a}-\frac{{a}^{2}}{3^{2}}$=-（$\frac{a}$-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{3}{4}$
可知：當$\frac{a}$=$\frac{3}{2}$時，表達式取得最大值，∴$\frac{^{2}}{{a}^{2}}=\frac{4}{9}$．可得$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{4}{9}$，
解得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$．
故選：D．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、利用導數研究函數的單調性極值與最值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．