Question

14．（1）已知正數(shù)a，b滿足a+4b=4，求$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$的最小值．
（2）求函數(shù)f（k）=$\frac{\sqrt{{k}^{2}+2}}{{k}^{2}+6}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用乘1法，可得$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$=$\frac{1}{4}$（a+4b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$）=$\frac{1}{4}$（5+$\frac{a}$+$\frac{4b}{a}$），再由基本不等式即可得到最小值；
（2）令t=$\sqrt{2+{k}^{2}}$（t≥$\sqrt{2}$），則g（t）=$\frac{t}{{t}^{2}+4}$=$\frac{1}{t+\frac{4}{t}}$，再由基本不等式即可得到最大值．

解答 解：（1）由a，b＞0，且a+4b=4，
即有$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$=$\frac{1}{4}$（a+4b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$）=$\frac{1}{4}$（5+$\frac{a}$+$\frac{4b}{a}$）
≥$\frac{1}{4}$（5+2$\sqrt{\frac{a}•\frac{4b}{a}}$）=$\frac{9}{4}$，
當(dāng)且僅當(dāng)a=2b=$\frac{4}{3}$時(shí)取得最小值，
則$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$的最小值為$\frac{9}{4}$；
（2）令t=$\sqrt{2+{k}^{2}}$（t≥$\sqrt{2}$），
則g（t）=$\frac{t}{{t}^{2}+4}$=$\frac{1}{t+\frac{4}{t}}$≤$\frac{1}{2\sqrt{t•\frac{4}{t}}}$=$\frac{1}{4}$，
當(dāng)且僅當(dāng)t=2，即k=$±\sqrt{2}$時(shí)，取得等號(hào)，
即有f（k）的最大值為$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式的運(yùn)用：求最值，注意乘1法和換元法的運(yùn)用，以及滿足的條件：一正二定三等，屬于中檔題．