Question

某品牌飲料為了擴(kuò)大其消費(fèi)市場(chǎng)，特實(shí)行“再來一瓶”有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)．該品牌飲料的瓶蓋內(nèi)或刻有“再來一瓶”字樣，或刻有“謝謝惠顧”字樣，如見瓶蓋內(nèi)刻有“再來一瓶”字樣，即可憑該瓶蓋，在指定零售地點(diǎn)兌換相同規(guī)格的飲料一瓶，本次活動(dòng)中獎(jiǎng)的概率為

1

5

．今年春節(jié)期間有甲、乙、丙3位朋友聚會(huì)，選用6瓶這種飲料，并限定每人喝2瓶，求：
（1）甲喝的2瓶飲料都中獎(jiǎng)的概率；
（2）甲、乙、丙3人中恰有2人喝到中獎(jiǎng)飲料的概率；
（3）記ξ為甲、乙、丙3人中喝到中獎(jiǎng)飲料的人數(shù)，求ξ的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,互斥事件的概率加法公式,相互獨(dú)立事件的概率乘法公式

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）記“第一瓶飲料中獎(jiǎng)”為A₁，“第二瓶飲料中獎(jiǎng)”為A₂，A₁與A₂是相互獨(dú)立事件，由此能求出甲喝的2瓶飲料都中獎(jiǎng)的概率．
（2）設(shè)“一人喝到中獎(jiǎng)飲料”為事件A，則P（A）=

9

25

，三人喝6瓶飲料且限定每人2瓶相當(dāng)于3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，根據(jù)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率公式，能求出甲、乙、丙3人中恰有2人喝到中獎(jiǎng)飲料的概率．
（3）由已知得ξ～B（3，

9

25

），由此能求出ξ的數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（1）記“第一瓶飲料中獎(jiǎng)”為A₁，“第二瓶飲料中獎(jiǎng)”為A₂，
A₁與A₂是相互獨(dú)立事件，
∴甲喝的2瓶飲料都中獎(jiǎng)的概率：
P（A₁A₂）=P（A₁）P（A₂）=

1

5

×

1

5

=

1

25

．
（2）設(shè)“一人喝到中獎(jiǎng)飲料”為事件A，
則P（A）=

1

5

×

4

5

+

4

5

×

1

5

+

1

5

×

1

5

=

9

25

，
三人喝6瓶飲料且限定每人2瓶相當(dāng)于3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，
根據(jù)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率公式，
甲、乙、丙3人中恰有2人喝到中獎(jiǎng)飲料的概率：
P3(2)=

C

2 3

(

9

25

)2(1-

9

25

)=

3888

15625

，
∴甲、乙、丙3人中恰有2人喝到中獎(jiǎng)飲料的概率為

3888

15625

．
（3）∵每個(gè)人喝到中獎(jiǎng)飲料的概率都是

9

25

，且每個(gè)人是否喝到中獎(jiǎng)飲料相互獨(dú)立，
故ξ～B（3，

9

25

），
∴ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=3×

9

25

=

27

25

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率、隨機(jī)變量分布列以及數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問題的能力，是中檔題．