【題目】如圖,在三棱柱側(cè)面.
(1)求證:平面平面;
(2)若,求二面角的余弦值.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】
(1)要證平面平面,轉(zhuǎn)證平面AB,即證,;
(2) 以G為坐標(biāo)原點(diǎn),以的方向?yàn)閤軸正方向,以的方向?yàn)閥軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系G-xyz.分別求出兩個(gè)半平面的法向量,代入公式即可得到結(jié)果.
(1)如圖,設(shè),連接AG.
因?yàn)槿庵膫?cè)面為平行四邊形,所以G為的中點(diǎn),
因?yàn)?/span>,
所以為等腰三角形,所以,
又因?yàn)?/span>AB⊥側(cè)面,且平面,
所以
又因?yàn)?/span>,
所以平面AB,又因?yàn)?/span>平面,
所以平面平面;
(2)由(1)知平面AB,所以B
以G為坐標(biāo)原點(diǎn),以的方向?yàn)閤軸正方向,以的方向?yàn)閥軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系G-xyz.
由B易知四邊形為菱形,因?yàn)?/span>
所以,
則可得,
所以
設(shè)平面的法向量,
由得:,取z=1,所以,
由(1)知=為平面AB的法向量,
則
易知二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)有邊長均為1的正方形正五邊形正六邊形及半徑為1的圓各一個(gè),在水平桌面上無滑動(dòng)滾動(dòng)一周,它們的中心的運(yùn)動(dòng)軌跡長分別為,,,,則( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為(為實(shí)數(shù)).
(1)求曲線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)當(dāng)時(shí),設(shè)、分別為曲線和曲線上的動(dòng)點(diǎn),求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知為圓上一點(diǎn),過點(diǎn)作軸的垂線交軸于點(diǎn),點(diǎn)滿足
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程;
(2)設(shè)為直線上一點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),且,求面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】阿爾法狗(AlphaGo)是第一個(gè)擊敗人類職業(yè)圍棋選手、第一個(gè)戰(zhàn)勝圍棋世界冠軍的人工智能程序,由谷歌(Google)公司的團(tuán)隊(duì)開發(fā).其主要工作原理是“深度學(xué)習(xí)”.2017 年5 月,在中國烏鎮(zhèn)圍棋峰會上,它與排名世界第一的世界圍棋冠軍柯潔對戰(zhàn),以3 比0 的總比分獲勝.圍棋界公認(rèn)阿爾法圍棋的棋力已經(jīng)超過人類職業(yè)圍棋頂尖水平.
為了激發(fā)廣大中學(xué)生對人工智能的興趣,某市教育局組織了一次全市中學(xué)生“人工智能”軟件設(shè)計(jì)競賽,從參加比賽的學(xué)生中隨機(jī)抽取了30 名學(xué)生,并把他們的比賽成績按五個(gè)等級進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),得到如下數(shù)據(jù)表:
成績等級 | |||||
成績(分) | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
人數(shù)(名) | 4 | 6 | 10 | 7 | 3 |
(1)根據(jù)上面的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),試估計(jì)從本市參加比賽的學(xué)生中任意抽取一人,其成績等級為“ 或”的
概率;
(2)根據(jù)(I)的結(jié)論,若從該地區(qū)參加比賽的學(xué)生(參賽人數(shù)很多)中任選3 人,記表示抽到成績等級為“或”的學(xué)生人數(shù),求 的分布列及其數(shù)學(xué)期望;
(3)從這30 名學(xué)生中,隨機(jī)選取2 人,求“這兩個(gè)人的成績之差大于1分”的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某烘焙店加工一個(gè)成本為60元的蛋糕,然后以每個(gè)120元的價(jià)格出售,如果當(dāng)天賣不完,剩下的這種蛋糕作餐廚垃圾處理.
(1)若烘焙店一天加工16個(gè)這種蛋糕,,求當(dāng)天的利潤(單位:元)關(guān)于當(dāng)天需求量(單位:個(gè),)的函數(shù)解析式;
(2)烘焙店記錄了100天這種蛋糕的日需求量(單位:個(gè)),整理得下表:
日需求量 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
頻數(shù) | 10 | 20 | 16 | 16 | 15 | 13 | 10 |
①若烘焙店一天加工16個(gè)這種蛋糕,表示當(dāng)天的利潤(單位:元),求的分布列與數(shù)學(xué)期望及方差;
②若烘焙店一天加工16個(gè)或17個(gè)這種蛋糕,僅從獲得利潤大的角度考慮,你認(rèn)為應(yīng)加工16個(gè)還是17個(gè)?請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某大型工廠招聘到一大批新員工.為了解員工對工作的熟練程度,從中隨機(jī)抽取100人組成樣本,統(tǒng)計(jì)他們每天加工的零件數(shù),得到如下數(shù)據(jù):
將頻率作為概率,解答下列問題:
(1)當(dāng)時(shí),從全體新員工中抽取2名,求其中恰有1名日加工零件數(shù)達(dá)到240及以上的概率;
(2)若根據(jù)上表得到以下頻率分布直方圖,估計(jì)全體新員工每天加工零件數(shù)的平均數(shù)為222個(gè),求的值(每組數(shù)據(jù)以中點(diǎn)值代替);
(3)在(2)的條件下,工廠按工作熟練度將新員工分為三個(gè)等級:日加工零件數(shù)未達(dá)200的員工為C級;達(dá)到200但未達(dá)280的員工為B級;其他員工為A級.工廠打算將樣本中的員工編入三個(gè)培訓(xùn)班進(jìn)行全員培訓(xùn):A,B,C三個(gè)等級的員工分別參加高級、中級、初級培訓(xùn)班,預(yù)計(jì)培訓(xùn)后高級、中級、初級培訓(xùn)班的員工每人的日加工零件數(shù)分別可以增加20,30,50.現(xiàn)從樣本中隨機(jī)抽取1人,其培訓(xùn)后日加工零件數(shù)增加量為X,求隨機(jī)變量X的分布列和期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,為正三角形,,,,,為線段的中點(diǎn).
(1)求證:平面;
(2)求證:平面;
(3)求三棱錐的體積.
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