Question

定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（2-x）=f（x），且在[0，1）上單調(diào)遞減，若方程f（x）=-1在[0，1）上有實(shí)數(shù)根，則方程f（x）=1在區(qū)間[-1，7]上所有實(shí)根之和是

 

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Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)的周期性

專題：常規(guī)題型,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，且滿足f（2-x）=f（x），推出函數(shù)的周期性，然后判斷方程f（x）=-1在一個(gè)周期內(nèi)實(shí)根的個(gè)數(shù)并求和，進(jìn)而求出方程f（x）=1在區(qū)間[-1，7]上所有實(shí)根之和．

解答： 解：由f（2-x）=f（x）知函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，
下面證明f（x）是一個(gè)周期函數(shù)，
由f（x）是R上的奇函數(shù)知f（2-x）=-f（x-2），f（x-4）=-f（4-x）
在f（2-x）=f（x）中，以x-2代x得：
f（2-（x-2））=f（x-2）即f（4-x）=f（x-2），
所以f（x）=f（2-x）=-f（4-x）=f（x-4）
即f（x+4）=f（x），
所以f（x）是以4為周期的周期函數(shù)．
考慮f（x）的一個(gè)周期，例如[-1，3]，
由f（x）在[0，1）上是減函數(shù)知f（x）在（1，2]上是增函數(shù)，
f（x）在（-1，0]上是減函數(shù)，f（x）在[2，3）上是增函數(shù)．
對(duì)于奇函數(shù)f（x）有f（0）=0，f（2）=f（2-2）=f（0）=0，
故當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）＜f（0）=0，當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，f（x）＜f（2）=0，
當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，f（x）＞f（0）=0，當(dāng)x∈（2，3）時(shí)，f（x）＞f（2）=0，
方程f（x）=-1在[0，1）上有實(shí)數(shù)根，
則這實(shí)數(shù)根是唯一的，因?yàn)閒（x）在（0，1）上是單調(diào)函數(shù)，
則由于f（2-x）=f（x），故方程f（x）=-1在（1，2）上有唯一實(shí)數(shù)．
在（-1，0）和（2，3）上f（x）＞0，
則方程f（x）=-1在（-1，0）和（2，3）上沒有實(shí)數(shù)根．
從而方程f（x）=-1在一個(gè)周期內(nèi)有且僅有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
當(dāng)x∈[-1，3]，方程f（x）=-1的兩實(shí)數(shù)根之和為x+2-x=2，
當(dāng)x∈[-1，7]，方程f（x）=-1的所有四個(gè)實(shí)數(shù)根之和為x+2-x+4+x+4+2-x=2+8+2=12．
故答案為：12．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性、周期性、單調(diào)性等函數(shù)的重要性質(zhì)，還考查了方程根的問題，綜合性較強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)奇偶性和對(duì)稱性得出周期性．