Question

設函數(shù)f（x）=ax²-（2a+1）x+2．
（Ⅰ）若f（x）＞-x-1恒成立，求a的取值范圍；
（Ⅱ）當a＞0時，解不等式：f（x）＞0．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,不等式的解法及應用

分析：（I）若f（x）＞-x-1恒成立，即ax²-2ax+3＞0成立，等價于a=0或

a＞0 △=4a2-12＜0

，進而可得a的取值范圍；
（Ⅱ）當a＞0時，函數(shù)f（x）=ax²-（2a+1）x+2的圖象是開口朝上與x軸交于（2，0）點和（

1

a

，0）點的拋物線，結(jié)合函數(shù)的圖象，對a進行分類討論可得不等式：f（x）＞0的解集．

解答： 解：（I）若f（x）＞-x-1恒成立，
則ax²-2ax+3＞0恒成立，
即a=0或

a＞0 △=4a2-12＜0

，
解得：a∈[0，3），
故a的取值范圍為[0，3）；
（II）當a＞0時，函數(shù)f（x）=ax²-（2a+1）x+2的圖象是開口朝上與x軸交于（2，0）點和（

1

a

，0）點的拋物線，
若2＜

1

a

，即0＜a＜

1

2

，f（x）＞0的解集為：（-∞，2）∪（

1

a

，+∞）；
若2=

1

a

，即a=

1

2

，f（x）＞0的解集為：（-∞，2）∪（2，+∞）；
若2＞

1

a

，即a＞

1

2

，f（x）＞0的解集為：（-∞，

1

a

）∪（2，+∞）；

點評：本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，恒成立問題，解二次不等式，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．