Question

已知二項(xiàng)式（3x+2）ⁿ的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為3125，則此展開式中含x⁴項(xiàng)的系數(shù)是________．

Answer 1

810
分析：給二項(xiàng)式中的x賦值1，求出展開式的所有項(xiàng)的系數(shù)和，列出方程求出n；利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出展開式的通項(xiàng)，令x的指數(shù)為4求出r的值，將r的值代入通項(xiàng)求出展開式中含x⁴項(xiàng)的系數(shù)．
解答：令二項(xiàng)式中的x=1得到展開式的所有的項(xiàng)的系數(shù)和為5ⁿ
5ⁿ=3125
解得n=5
所以（3x+2）ⁿ=（3x+2）⁵展開式的通項(xiàng)為T_r+1=2^r3^5-rC₅^rx^5-r
令5-r=4得r=1
所以展開式中含x⁴項(xiàng)的系數(shù)是2×3⁴C₅¹=810
故答案為810
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式解決二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問題、考查通過賦值法解決展開式的系數(shù)和問題．