Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

1

3

ax3-ax+a，g(x)=bx2-lnx，(a＞0，b∈R)，已知它們在x=1處的切線互相平行．
（1）求b的值；
（2）當(dāng)x＞0時，求證：x²-2lnx≥1；
（3）若函數(shù)F(x)=

f(x)，(x≤0) g(x)，(x＞0)

，且方程F（x）=a²有且僅有四個解，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得f^′（1）=g^′（1）即可求出b的值．
（2）由（1）可得g^′（x）=

(x-1)(x+1)

x

從而可得出x∈（0，1）時g^′（x）＜0，x∈（1，+∞）時g^′（x）＞0所以g（x）≥g（1）再整理即可．
（3）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)F（x）的單調(diào)性和極值然后作出函數(shù)F（x）的簡圖然后根據(jù)函數(shù)y=a²與函數(shù)F（x）的圖象有兩個交點即可求出a的范圍．

解答：解：（1）f^′（x）=a（x²-1），g^′（x）=2bx-

1

x

∵它們在x=1處的切線互相平行
∴f^′（1）=g^′（1）
∴2b-1=0
∴b=

1

2

（2）由（1）可得：g^′（x）=

(x-1)(x+1)

x

當(dāng)x∈（0，1）時g^′（x）＜0，當(dāng)x∈（1，+∞）時g^′（x）＞0
則：gmin(x)=g極小值(x)=g(1)=

1

2

∴g（x）=

1

2

x2- lnx≥

1

2

∴x²-2lnx≥1
（3）當(dāng)x＞0時，F(xiàn)（x）=）=

1

2

x2- lnx，由（2）得：
當(dāng)x=1時F_極小值（x）=F（1）=

1

2

當(dāng)x≤0時F（x）=

1

3

ax3-ax+a則F^′（x）=a（x-1）（x+1）
∴當(dāng)x∈（-∞，-1）時F^′（x）＞0，當(dāng)x∈（-1，0）時F^′（x）＜0
故當(dāng)x=-1時F_極大值（x）=F（-1）=

5a

3

又方程F（x）=a²有且僅有四個解
則：

1

2

＜a²＜

5a

3

又a＞0
∴a∈（

2

2

，

5

3

)

點評：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)F（x）的單調(diào)性和極值，屬常考題，較難．解題的關(guān)鍵是透徹理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義即為在這點切線的斜率，同時能根據(jù)導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及單調(diào)性進(jìn)而作出函數(shù)簡圖為數(shù)形結(jié)合解題作鋪墊！