Question

已知曲線f（x）=x³+x-2在P₀處的切線l₁平行于直線4x-y-1=0，且點(diǎn)P₀在第三象限．
（1）求P₀點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求出過點(diǎn)P₀的所有切線的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,直線與圓

分析：（1）求出導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切點(diǎn)，求出切線的斜率，再由兩直線平行的條件，得到m的方程，解得m，即可得到切點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）設(shè)出切點(diǎn)，求出切線的斜率，求得切線方程，代入點(diǎn)P₀（-1，-4），再由切點(diǎn)在曲線上，滿足曲線方程，聯(lián)立方程組，解得切點(diǎn)，即可得到切線方程．

解答： 解：（1）f（x）=x³+x-2的導(dǎo)數(shù)為
f′（x）=3x²+1，
設(shè)P₀（m，n），則f′（m）=3m²+1，
由于在P₀處的切線l₁平行于直線4x-y-1=0，
3m²+1=4，解得，m=±1，
點(diǎn)P₀在第三象限，則m=-1，n=-1-1-2=-4，
則有P₀（-1，-4）；
（2）設(shè)切點(diǎn)Q（s，t），
則由于f′（x）=3x²+1，則切線的斜率為k=3s²+1，
切線方程為y-t=（3s²+1）（x-s），
由切線經(jīng)過點(diǎn)P₀（-1，-4），則-4-t=（3s²+1）（-1-s），①
又t=s³+s-2②
②代入①得，（s+1）²（2s-1）=0，
解得，s=-1或

1

2

，
則有切點(diǎn)為（-1，-4）或（

1

2

，-

11

8

）．
則切線方程為4x-y=0，或7x-4y-9=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：曲線在該點(diǎn)處切線的斜率，考查切線方程的求法，注意在某點(diǎn)處和過某點(diǎn)的切線的區(qū)別，屬于基礎(chǔ)題和易錯(cuò)題．