Question

下列命題正確的是

 

．
①一個命題的逆命題為真，它的否命題也一定為真；
②“am²＜bm²”是“a＜b”的充分必要條件；
③

x＞1 y＞2

是

x+y＞3 xy＞2

的充要條件；
④在△ABC中，“∠B=60°”是“∠A，∠B，∠C三個角成等差數(shù)列”的充要條件．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：簡易邏輯

分析：①，利用一個命題的逆命題與其否命題為等價命題，可判斷①；
②，利用“充分必要條件”的概念，從“充分性”與“必要性”兩個方面可判斷②；
③，由

x＞1 y＞2

是

x+y＞3 xy＞2

的充分不必要條件，可判斷③；
④，在△ABC中，“∠B=60°”是“∠A，∠B，∠C三個角成等差數(shù)列”的充要條件，可判斷④．

解答： 解：對于①，由于一個命題的逆命題與其否命題為等價命題（同真同假），
故一個命題的逆命題為真，它的否命題也一定為真，①正確；
對于②，“am²＜bm²”⇒“a＜b”，充分性成立，反之，若“a＜b”，則“am²＜bm²”不成立（當m²=0時，am²=bm²），即必要性不成立
所以，“am²＜bm²”是“a＜b”的充分不必要條件，②錯誤；
對于③，

x＞1 y＞2

⇒

x+y＞3 xy＞2

，充分性成立，反之，不然，如

1 2 +5＞3 1 2 ×5＞2

，不能推出

1 2 ＞1 5＞2

，即必要性不成立；
所以，

x＞1 y＞2

是

x+y＞3 xy＞2

的充分不必要條件，③錯誤；
對于④，在△ABC中，“∠B=60°”⇒“∠A，∠B，∠C三個角成等差數(shù)列”，充分性成立；
反之，若“∠A，∠B，∠C三個角成等差數(shù)列”，則“∠B=60°”，必要性成立；
故在△ABC中，“∠B=60°”是“∠A，∠B，∠C三個角成等差數(shù)列”的充要條件，④正確．
故答案為：①④．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，考查四種命題之間的關(guān)系及真假判斷，突出考查充分必要條件的概念及應用，屬于中檔題．