Question

在如圖所示的幾何體中，△ABC是邊長為2的正三角形，AE=1，AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD=CD，且BD⊥CD．
（I）AE∥平面BCD；
（II）平面BDE⊥平面CDE．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）取BC的中點M，連接DM、AM，證明DM⊥平面ABC，再由AE⊥平面ABC，可得AE∥DM，從而得AE∥平面BCD．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得DMAE是平行四邊形，故有DE∥AM，再由AM⊥平面BCD證得DE⊥平面BCD．
解答：證明：（Ⅰ） 取BC的中點M，連接DM、AM，由已知可得DM=1，DM⊥BC，AM⊥BC．
又因為平面BCD⊥平面ABC，所以DM⊥平面ABC．…（2分）
因為AE⊥平面ABC，所以，AE∥DM．…（4分）
又因為AE?平面BCD，DM?平面BCD，所以AE∥平面BCD．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知AE∥DM，又AE=1，DM=1，
所以四邊形DMAE是平行四邊形，則有DE∥AM．
因為AM⊥平面BCD，所以DE⊥平面BCD．…（8分）
又CD?平面BCD，所以DE⊥CD．
由已知BD⊥CD，則CD⊥平面BDE．…（10分）
因為CD?平面CDE，所以，平面BDE⊥平面CDE．…（12分）
點評：本題主要考查直線和平面平行的判定定理的應用，直線和平面垂直，平面和平面垂直的判定定理的應用，取BC的中點M，連接DM、AM，是解題的突破口，屬于中檔題．