解:(1)依題意得,將雙曲線方程標(biāo)準(zhǔn)化為
=1,則c=1.
∵橢圓與雙曲線共焦點(diǎn),∴設(shè)橢圓方程為
=1,∵橢圓過(
,0),
∴
=2,∴橢圓方程為
=1.
(2)依題意,設(shè)斜率為2的弦所在直線的方程為y=2x+b,弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),則
y=2x+b 且
=1得,9x
2+8xb+2b
2-2=0,∴x
1+x
2=-
.
即x=-
兩式消掉b得 y=-
x.
令△=0,64b
2-36(2b
2-2)=0,即b=±3,所以斜率為2且與橢圓相切的直線方程為y=2x±3
即當(dāng)x=±
時(shí)斜率為2的直線與橢圓相切.
所以平行弦得中點(diǎn)軌跡方程為:y=-
x(-
).
分析:(1)求出雙曲線的焦點(diǎn),由此設(shè)出橢圓方程,把點(diǎn)(
,0)代入橢圓方程,求出待定系數(shù)即得所求的橢圓方程.
(2)設(shè)斜率為2的弦所在直線的方程為y=2x+b,弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),把y=2x+b 代入橢圓的方程,利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,求出軌跡方程為y=-
x,求出直線y=2x+b 和橢圓相切時(shí)的b值,即得軌跡方程中自變量x
的范圍.
點(diǎn)評(píng):本題考查用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用;求點(diǎn)的軌跡方程的方法,求軌跡方程中自變量x的范圍,是解題的易錯(cuò)點(diǎn).