已知橢圓與雙曲線2x2-2y2=1共焦點(diǎn)，且過（數(shù)學(xué)公式）
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）求斜率為2的一組平行弦的中點(diǎn)軌跡方程．

解：（1）依題意得，將雙曲線方程標(biāo)準(zhǔn)化為=1，則c=1．
∵橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)，∴設(shè)橢圓方程為=1，∵橢圓過（，0），
∴=2，∴橢圓方程為=1．
（2）依題意，設(shè)斜率為2的弦所在直線的方程為y=2x+b，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則
y=2x+b 且 =1得，9x2+8xb+2b2-2=0，∴x1+x2=-．
即x=-兩式消掉b得 y=-x．
令△=0，64b2-36（2b2-2）=0，即b=±3，所以斜率為2且與橢圓相切的直線方程為y=2x±3
即當(dāng)x=±時(shí)斜率為2的直線與橢圓相切．
所以平行弦得中點(diǎn)軌跡方程為：y=-x（-）．
分析：（1）求出雙曲線的焦點(diǎn)，由此設(shè)出橢圓方程，把點(diǎn)（，0）代入橢圓方程，求出待定系數(shù)即得所求的橢圓方程．
（2）設(shè)斜率為2的弦所在直線的方程為y=2x+b，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），把y=2x+b 代入橢圓的方程，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求出軌跡方程為y=-x，求出直線y=2x+b 和橢圓相切時(shí)的b值，即得軌跡方程中自變量x
的范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用；求點(diǎn)的軌跡方程的方法，求軌跡方程中自變量x的范圍，是解題的易錯(cuò)點(diǎn)．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給出下列命題：
①已知橢圓
x2
16
+
y2
8
=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，則這個(gè)橢圓上存在六個(gè)不同的點(diǎn)M，使得△F1MF2為直角三角形；
②已知直線l過拋物線y=2x2的焦點(diǎn)，且與這條拋物線交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|的最小值為2；
③若過雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)作它的一條漸近線的垂線，垂足為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|OM|=a；
④已知⊙C1：x2+y2+2x=0，⊙C2：x2+y2+2y-1=0，則這兩個(gè)圓恰有2條公切線．
其中正確命題的序號(hào)是
 
．（把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2004•寶山區(qū)一模）設(shè)直線2x-y+1=0與橢圓
x2
3
+
y2
4
=1相交于A、B兩點(diǎn)．
（1）線段AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)及線段AB的長(zhǎng)；
（2）已知橢圓具有性質(zhì)：設(shè)A、B是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1上的任意兩點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn)，若直線AB、OM的斜率都存在，并記為kAB，kOM，則kAB?kOM為定值．試對(duì)雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1寫出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

給出下列命題：
①已知橢圓
x2
16
+
y2
8
=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，則這個(gè)橢圓上存在六個(gè)不同的點(diǎn)M，使得△F1MF2為直角三角形；
②已知直線l過拋物線y=2x2的焦點(diǎn)，且與這條拋物線交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|的最小值為2；
③若過雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)作它的一條漸近線的垂線，垂足為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|OM|=a；
④已知⊙C1：x2+y2+2x=0，⊙C2：x2+y2+2y-1=0，則這兩個(gè)圓恰有2條公切線．
其中正確命題的序號(hào)是______．（把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年安徽省巢湖市高三（上）質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：填空題

給出下列命題：
①已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，則這個(gè)橢圓上存在六個(gè)不同的點(diǎn)M，使得△F1MF2為直角三角形；
②已知直線l過拋物線y=2x2的焦點(diǎn)，且與這條拋物線交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|的最小值為2；
③若過雙曲線C：的一個(gè)焦點(diǎn)作它的一條漸近線的垂線，垂足為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|OM|=a；
④已知⊙C1：x2+y2+2x=0，⊙C2：x2+y2+2y-1=0，則這兩個(gè)圓恰有2條公切線．
其中正確命題的序號(hào)是    ．（把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2005年上海市寶山區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷（解析版） 題型：解答題

設(shè)直線2x-y+1=0與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)．
（1）線段AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)及線段AB的長(zhǎng)；
（2）已知橢圓具有性質(zhì)：設(shè)A、B是橢圓上的任意兩點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn)，若直線AB、OM的斜率都存在，并記為kAB，kOM，則kAB?kOM為定值．試對(duì)雙曲線寫出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明．

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