Question

函數y=f（x）圖象上不同兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）處的切線的斜率分別是k_A，k_B，規(guī)定φ（A，B）=

|kA-kB|

|AB|

叫曲線y=f（x）在點A與點B之間的“彎曲度”，給出以下命題：
（1）函數y=x³-x²+1圖象上兩點A、B的橫坐標分別為1，2，則φ（A，B）＞

3

；
（2）存在這樣的函數，圖象上任意兩點之間的“彎曲度”為常數；
（3）設點A、B是拋物線，y=x²+1上不同的兩點，則φ（A，B）≤2；
（4）設曲線y=e^x上不同兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁-x₂=1，若t•φ（A，B）＜1恒成立，則實數t的取值范圍是（-∞，1）；
以上正確命題的序號為

 

（寫出所有正確的）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：函數的性質及應用,簡易邏輯

分析：由新定義，利用導數逐一求出函數y=x³-x²+1、y=x²+1在點A與點B之間的“彎曲度”判斷（1）、（3）；舉例說明（2）正確；求出曲線y=e^x上不同兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）之間的“彎曲度”，然后結合t•φ（A，B）＜1得不等式，舉反例說明（4）錯誤．

解答： 解：對于（1），由y=x³-x²+1，得y′=3x²-2x，
則kA=y′|x=1=1，kB=y′|x=2=8，
y₁=1，y₂=5，則|AB|=

(2-1)2+(5-1)2

=

17

，
φ（A，B）=

|kA-kB|

|AB|

=

|8-1|

17

=

7

17

＜

3

，（1）錯誤；
對于（2），常數函數y=1滿足圖象上任意兩點之間的“彎曲度”為常數，（2）正確；
對于（3），設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），y′=2x，
則k_A-k_B=2x₁-2x₂，|AB|=

(x1-x2)2+(x12-x22)2

=

(x1-x2)2[1+(x1+x2)2]

=|x1-x2|

1+(x1+x2)2

．
∴φ（A，B）=

|kA-kB|

|x1-x2| 1+(x1+x2)2

=

2|x1-x2|

|x1-x2| 1+(x1+x2)2

≤

2

1

=2，（3）正確；
對于（4），由y=e^x，得y′=e^x，φ（A，B）=

|ex1-ex2|

(x1-x2)2+(ex1-ex2)2

=

|ex1-ex2|

1+(ex1-ex2)2

．
t•φ（A，B）＜1恒成立，即t|ex1-ex2|＜

1+(ex1-ex2)2

恒成立，t=1時該式成立，∴（4）錯誤．
故答案為：（2）（3）．

點評：本題是新定義題，考查了命題的真假判斷與應用，考查了利用導數研究過曲線上某點的切線方程，考查了函數恒成立問題，關鍵是對題意的理解，是中檔題．