Question

9．定義等積數列{a_n}：若a_na_n-1=p（p為非零常數，n≥2），則稱{a_n}為等積數列，p稱為公積．若{a_n}為等積數列，公積為1，首項為a，前n項和為S_n，則a₂₀₁₅=a，S₂₀₁₅=1008a+$\frac{1007}{a}$．

Answer 1

分析 根據題意列出a_na_n+1=1（n∈N⁺），求出數列{a_n}的通項公式，再求該數列的前2015項和．

解答 解：由題意得：a_na_n+1=1（n∈N⁺），且a₁=a，
∴a₂=$\frac{1}{a}$，a₃=a，a₄=$\frac{1}{a}$，a₅=a，a₆=$\frac{1}{a}$，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{a，}&{n為奇數}\\{\frac{1}{a}，}&{n為偶數}\end{array}\right.$，
∴a₂₀₁₅=a，
當n是奇數時，數列的奇數項數是1008，偶數項數是1007，
則數列的前2015項和S₂₀₁₅=1008a+$\frac{1007}{a}$．
故答案為：a，1008a+$\frac{1007}{a}$．

點評 本題考查求數列的通項及求和，考查分類討論的思想，觀察數列的規(guī)律、總結出項數與項之間的關系是解決本題的關鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．