Question

已知二次函數(shù)f（x）=x²+cx（c為常數(shù)）．
（1）若二次函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，求c的值；
（2）在（1）的條件下，而且m+n=2k（m≠n），m、n、k都是常數(shù)，f（m）+f（n）＞tf（k）求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）∵函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，故f（-x）=f（x），進(jìn)而可得c的值；
（2）若f（m）+f（n）＞tf（k），則m²+n²＞t•k²，即m²+n²＞t•（

m+n

2

）²，即故t＜

m2+n2

( m+n 2 )2

，利用基本不等式求出

m2+n2

( m+n 2 )2

的范圍，進(jìn)而可得實數(shù)t的取值范圍．

解答： 解：（1）∵二次函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，
∴f（-x）=（-x）²+c（-x）=f（x）=x²+cx，
故c=0，
（2）由（1）得：f（x）=x²，
若f（m）+f（n）＞tf（k），則m²+n²＞t•k²，
又∵m+n=2k，
故m²+n²＞t•（

m+n

2

）²，
故t＜

m2+n2

( m+n 2 )2

=4-

8

( n m + m n )+2

，
∵m≠n，
∴

n

m

+

m

n

＞2，故

n

m

+

m

n

+2＞4，
故

8

( n m + m n )+2

＜2，
故4-

8

( n m + m n )+2

＞2，
故t≤2．

點評：本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，基本不等式，恒成立問題，難度中檔．