Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C₁的參數(shù)方程為(φ為參數(shù)),曲線C₂的參數(shù)方程為(a>b>0,φ為參數(shù)),在以O(shè)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,射線l:θ=α與C₁,C₂各有一個(gè)交點(diǎn).當(dāng)α=0時(shí),這兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為2,當(dāng)α=時(shí),這兩個(gè)交點(diǎn)重合.
(1)分別說(shuō)明C₁,C₂是什么曲線,并求出a與b的值.
(2)設(shè)當(dāng)α=時(shí),l與C₁,C₂的交點(diǎn)分別為A₁,B₁,當(dāng)α=-時(shí),l與C₁,C₂的交點(diǎn)為A₂,B₂,求四邊形A₁A₂B₂B₁的面積.

Answer 1

(1) C₁是圓,C₂是橢圓. a=3  b=1  (2)

(1)C₁是圓,C₂是橢圓.
當(dāng)α=0時(shí),射線l與C₁,C₂交點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為(1,0),(a,0),因?yàn)檫@兩點(diǎn)間的距離為2,a>0,所以a=3.當(dāng)α=時(shí),射線l與C₁,C₂交點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為(0,1),(0,b),因?yàn)檫@兩點(diǎn)重合,所以b=1.
(2) C₁,C₂的普通方程分別為x²+y²=1和+y²=1.
當(dāng)α=時(shí),射線l與C₁交點(diǎn)A₁的橫坐標(biāo)為x=,與C₂交點(diǎn)B₁的橫坐標(biāo)為x'=.
當(dāng)α=-時(shí),射線l與C₁,C₂的兩個(gè)交點(diǎn)A₂,B₂分別與A₁,B₁關(guān)于x軸對(duì)稱,因此,四邊形A₁A₂B₂B₁為梯形.
故四邊形A₁A₂B₂B₁的面積為=.