Question

有下列命題：
①已知

a

， 

b

是平面內(nèi)兩個非零向量，則平面內(nèi)任一向量

c

都可表示為λ

a

+μ

b

，其中λ，μ∈R；
②對任意平面四邊形ABCD，點E、F分別為AB、CD的中點，則2

EF

=

AD

+

BC

；
③直線x-y-2=0的一個方向向量為（1，-1）；
④已知

a

與

b

夾角為

π

6

，且

a

•

b

=

3

，則|

a

-

b

|的最小值為

3

-1；
⑤

a

∥

c

是（

a

•

b

）•

c

=

a

•（

b

•

c

）的充分條件；
其中正確的是

 

（寫出所有正確命題的編號）．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：平面向量及應用

分析：根據(jù)兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義，兩個向量的數(shù)量積的定義和運算，判斷各個選項是否正確，從而得出結(jié)論．

解答： 解：當

a

 與

b

是共線向量時，根據(jù)平面向量基本定理可得①不正確．
對任意平面四邊形ABCD，點E、F分別為AB、CD的中點，∴

FD

+

FC

=

0

，

EA

+

EB

=

0

；
再根據(jù)

EF

=

EB

+

BC

+CF，

EF

=

EA

+

AD

+

DF

，相加可得 2

EF

=

AD

+

BC

，故②正確．
直線x-y-2=0的一個方向向量為（1，1），故③不正確．
已知

a

與

b

夾角為

π

6

，且

a

•

b

=

3

，則|

a

|•|

b

|•cos

π

6

=

3

|

a

|•|

b

|=2，
|

a

-

b

|=

( a - b )2

=

a 2+ b 2-2 a • b

≥

2| a |•| b | -2 a • b

=

4-2 3

=

3

-1，
故|

a

-

b

|的最小值為

3

-1，故④正確．
若

a

∥

c

，則

c

=λ

a

，可得（

a

•

b

）•

c

=|

a

|•|

b

|•cos＜

a

，

b

＞•λ

a

，

a

•（

b

•

c

）=|

a

|•|

b

|•cos＜

b

，

c

＞λ|

a

|=|

a

|•|

b

|•cos＜

b

，

a

＞•λ

a

，
∴（

a

•

b

）•

c

=

a

•（

b

•

c

），
∴

a

∥

c

是（

a

•

b

）•

c

=

a

•（

b

•

c

）的充分條件，故⑤正確．
故答案為：②④⑤．

點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的定義和運算，兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義，屬于中檔題．