Question

9．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{x}{x+2}$（x＞0），觀察：
f₁（x）=f（x）=$\frac{x}{x+2}$（x＞0），f₂（x）=f（f₁（x））=$\frac{x}{3x+4}$，f₃（x）=f（f₂（x））=$\frac{x}{7x+8}$，f₄（x）=f（f₃（x））=$\frac{x}{15x+16}$…
根據(jù)以上事實(shí)，由歸納推理可得：當(dāng)n∈N⁺時(shí)，f_n（1）=$\frac{1}{{{2^{n+1}}-1}}$．

Answer 1

分析 觀察所給的前四項(xiàng)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，先觀察分子，只有一項(xiàng)組成，并且沒(méi)有變化，在觀察分母，有兩部分組成，是一個(gè)一次函數(shù)，根據(jù)一次函數(shù)的一次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)的變化特點(diǎn)，得到結(jié)果．

解答 解：由題意，所給的函數(shù)式的分子不變都是x，而分母是由兩部分的和組成，
第一部分的系數(shù)分別是1，3，7，15…2ⁿ-1，第二部分的數(shù)分別是2，4，8，16…2ⁿ
∴f_n（x）=f（f_n-1（x））=$\frac{x}{（{2}^{n}-1）x+{2}^{n}}$，
∴f_n（1）=$\frac{1}{{{2^{n+1}}-1}}$．
故答案為$\frac{1}{{{2^{n+1}}-1}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查歸納推理，實(shí)際上本題考查的重點(diǎn)是給出一個(gè)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式，本題是一個(gè)綜合題目，知識(shí)點(diǎn)結(jié)合的比較巧妙．