Question

4．已知f（x）=ax³，g（x）=9x²+3x-1，當x∈[1，2]時，f（x）≥g（x）恒成立，則a的取值范圍是（　　）

• A． a≤$\frac{41}{8}$
• B． a≤11
• C． a≥$\frac{41}{8}$
• D． a≥11

Answer 1

分析 利用函數(shù)的恒成立，分離變量求出a的不等式，然后利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值即可．

解答 解：f（x）=ax³，g（x）=9x²+3x-1，當x∈[1，2]時，f（x）≥g（x）恒成立，
可得a≥$\frac{9}{x}$+$\frac{3}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{{x}^{3}}$，令$\frac{1}{x}$=t，則t∈[$\frac{1}{2}$，1]．
a≥9t+3t²-t³．t∈[$\frac{1}{2}$，1]恒成立，
y=9t+3t²-t³．t∈[$\frac{1}{2}$，1]，可得y′=9-6t-3t²=3[4-（t+1）²]≥0，函數(shù)y是增函數(shù)，
最大值為：f（1）=11．可得a≥11．
故選：D．

點評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的最值，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．