在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝CA＝AA1＝2，側(cè)棱AA1⊥面ABC，D、E分別是棱A1B1、AA1的中點，點F在棱AB上，且

（I）求證：EF∥平面BDC1；
（II）求二面角E－BC1－D的余弦值

（I）詳見解析；（II）二面角E－BC1－D的余弦值為 

解析試題分析：（I）由于EF與BD在同一個平面內(nèi)，顯然考慮在ABB1A1這個平面內(nèi)證明這兩條直線平行，這完全就是平面幾何的問題了 取AB的中點M，，所以F為AM的中點，又因為E為的中點，所以 又分別為的中點，，且，所以四邊形為平行四邊形，，，由此可得平面 
（II）取AB的中點M，則MB、MC、MD兩兩垂直，所以可以以M為原點建立空間直角坐標系，利用空間向量求二面角E－BC1－D的余弦值  
試題解析：（I）證明：取AB的中點M，
，所以F為AM的中點，又因為E為的中點，所以 
在三棱柱中，分別為的中點，
，且，
所以四邊形為平行四邊形，，
，又平面，平面，
所以平面 

（II）以AB的中點M為原點建立空間直角坐標系如圖所示，

則，，，，
∴，，  
設面BC1D的一個法向量為，面BC1E的一個法向量為，
則由得取，
又由得取，
則，
故二面角E－BC1－D的余弦值為                    12分
考點：1、空間直線與平面的位置關(guān)系；2、空間向量的應用；3、二面角

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在三棱錐中，平面平面,，．設，分別為，中點.

（Ⅰ）求證：∥平面；
（Ⅱ）求證：平面;
（Ⅲ）試問在線段上是否存在點，使得過三點 ,,的平面內(nèi)的任一條直線都與平面平行？若存在，指出點的位置并證明；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，五面體中，四邊形ABCD是矩形，DA面ABEF，且DA=1，AB//EF，，P、Q、M分別為AE、BD、EF的中點.

求證：（I）PQ//平面BCE； 
（II）求證：AM平面ADF；

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖①，△BCD內(nèi)接于直角梯形，A1D∥A2A3，A1A2⊥A2A3，A1D＝10，A1A2＝8，沿△BCD三邊將△A1BD、△A2BC、△A3CD翻折上去，恰好形成一個三棱錐ABCD，如圖②.

(1)求證：AB⊥CD；
(2)求直線BD和平面ACD所成的角的正切值；
(3)求四面體的體積。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，四邊形ABCD為正方形，PA平面ABCD，且AD= 2PA，E、F、G、H分別是線段PA、PD、CD、BC的中點．

(I)求證：BC∥平面EFG；
(II)求證：DH平面AEG．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖是一個斜三棱柱，已知、平面平面、、，又、分別是、的中點.

（1）求證：∥平面； （2）求二面角的大小.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

四棱錐底面是平行四邊形，面面,,,分別為的中點.

（1）求證：
（2）求證：
（3）求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖1，在直角梯形中，，，，. 把沿對角線折起到的位置,如圖2所示,使得點在平面上的正投影恰好落在線段上，連接,點分別為線段的中點．

(1)求證：平面平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值；
(3)在棱上是否存在一點,使得到點四點的距離相等？請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖所示，在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3.

(1)證明：AC⊥B1D；
(2)求直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值．

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