Question

18．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F₁、F₂，焦距為2，過F₁作直線與橢圓交于B，D兩點，且△F₂BD的周長為4$\sqrt{3}$．
（1）求橢圓方程；
（2）過F₂作垂直于BD的直線交橢圓于A，C，設逆時針連接四個交點所得四邊形的面積為S，求S的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{2c=2}\\{2a=4\sqrt{3}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解出即可得出．
（2）①當BD⊥x軸時，把x=-1代入橢圓方程可得：$\frac{1}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1，解得y，可得|BD|．|AC|=2a．利用S=$\frac{1}{2}$|BD||AC|可得．
②當直線BD的斜率存在且不為0時，設直線BD的方程為：y=k（x+1），直線AC的方程為：y=-$\frac{1}{k}$（x-1）．設（x_i，y_i）（i=1，2，3，4）分別為B，D，A，C的坐標．
分別與橢圓方程聯(lián)立化為（2+3k²）x²+6k²x+3k²-6=0，利用根與系數(shù)的關系可得：|BD|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$．|AC|．利用S=$\frac{1}{2}$|BD||AC|及其基本不等式的性質即可得出．

解答 解：（1）由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{2c=2}\\{2a=4\sqrt{3}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得c=1，a=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{2}$．
∴橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
（2）①當BD⊥x軸時，把x=-1代入橢圓方程可得：$\frac{1}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1，解得y=$±\frac{2\sqrt{3}}{3}$，∴|BD|=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
|AC|=2a=2$\sqrt{3}$．
∴S=$\frac{1}{2}$|BD||AC|=$\frac{1}{2}×\frac{4\sqrt{3}}{3}×2\sqrt{3}$=4．
②當直線BD的斜率存在且不為0時，設直線BD的方程為：y=k（x+1），直線AC的方程為：y=-$\frac{1}{k}$（x-1）．
設（x_i，y_i）（i=1，2，3，4）分別為B，D，A，C的坐標．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，化為（2+3k²）x²+6k²x+3k²-6=0，
△＞0，
∴x₁+x₂=$\frac{-6{k}^{2}}{2+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{3{k}^{2}-6}{2+3{k}^{2}}$，
∴|BD|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\frac{4\sqrt{3}（1+{k}^{2}）}{2+3{k}^{2}}$．
同理可得：|AC|=$\frac{4\sqrt{3}（1+{k}^{2}）}{3+2{k}^{2}}$．
∴S=$\frac{1}{2}$|BD||AC|=$\frac{1}{2}$$\frac{4\sqrt{3}（1+{k}^{2}）}{2+3{k}^{2}}$×$\frac{4\sqrt{3}（1+{k}^{2}）}{3+2{k}^{2}}$=$\frac{24（1+{k}^{2}）^{2}}{（2+3{k}^{2}）（3+2{k}^{2}）}$=$\frac{24}{6+\frac{1}{{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}+2}}$≥$\frac{96}{25}$，且S＜4．
綜上可得：S的取值范圍是$[\frac{96}{25}，4]$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關系、弦長公式、四邊形的面積、基本不等式的性質，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于難題．