Question

10．已知點(diǎn)A（0，5）是橢圓$\frac{{x}^{2}}{98}$+$\frac{{y}^{2}}{49}$=1內(nèi)一定點(diǎn)，P是這個(gè)橢圓上的點(diǎn)，要使|PA|的值最大，則P的坐標(biāo)應(yīng)是$（±4\sqrt{3}，-5）$，|PA|的最大值等于2$\sqrt{37}$．

Answer 1

分析 設(shè)P$（7\sqrt{2}cosθ，7sinθ）$（θ∈[0，2π））．可得|PA|=$\sqrt{（7\sqrt{2}cosθ）^{2}+（7sinθ-5）^{2}}$=$\sqrt{-49（sinθ+\frac{5}{7}）^{2}+148}$，利用二次函數(shù)與三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：設(shè)P$（7\sqrt{2}cosθ，7sinθ）$（θ∈[0，2π））．
則|PA|=$\sqrt{（7\sqrt{2}cosθ）^{2}+（7sinθ-5）^{2}}$=$\sqrt{-49si{n}^{2}θ-70sinθ+123}$=$\sqrt{-49（sinθ+\frac{5}{7}）^{2}+148}$≤2$\sqrt{37}$，當(dāng)sinθ=-$\frac{5}{7}$時(shí)取等號(hào)，
∴$cosθ=±\frac{2\sqrt{6}}{7}$．
∴P$（±4\sqrt{3}，-5）$．
故答案分別為：$（±4\sqrt{3}，-5）$；2$\sqrt{37}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及參數(shù)方程、二次函數(shù)與三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．