如圖，在矩形ABCD中，已知AB=3，AD=1，E、F分別是AB的兩個三等分點(diǎn)，AC，DF相交于點(diǎn)G，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系：

（1）若動點(diǎn)M到D點(diǎn)距離等于它到C點(diǎn)距離的兩倍，求動點(diǎn)M的軌跡圍成區(qū)域的面積；

（2）證明：E G⊥D F．

考點(diǎn)：

軌跡方程；兩條直線垂直的判定．

專題：

直線與圓．

分析：

（1）以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，求出動點(diǎn)M的軌跡方程，即可求出圍成區(qū)域的面積；

（2）求出直線AC，DF的方程，可得G的坐標(biāo)，計(jì)算kEG•kDF=﹣1，即可得到結(jié)論．

解答：

（1）解：以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則A（0，0），B（3，0），C（3，1），D（0，1），E（1，0），F(xiàn)（2，0）．…（1分）

設(shè)M（x，y），由題意知|MD|=2|MC|…（2分）

∴…（3分）

兩邊平方化簡得：即（x﹣4）2+（y﹣1）2=4…（5分）

即動點(diǎn)M的軌跡為圓心（4，1），半徑為2的圓，

∴動點(diǎn)M的軌跡圍成區(qū)域的面積為4π…（6分）

（2）證明：由A（0，0）．C（3，1）知直線AC的方程為：x﹣3y=0，…（7分）

由D（0，1）．F（2，0）知直線DF的方程為：x+2y﹣2=0，…（8分）

由得，故點(diǎn)G點(diǎn)的坐標(biāo)為．…（10分）

又點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，0），故kEG=2，kDF=﹣   …（12分）

所以kEG•kDF=﹣1，即證得：EG⊥DF    …（13分）

點(diǎn)評：

本題考查軌跡方程，考查直線方程的求解，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在矩形ABCD中，AB=2BC，P，Q分別為線段AB，CD的中點(diǎn)，EP⊥平面ABCD．
（1） 求證：AQ∥平面CEP；
（2） 求證：平面AEQ⊥平面DEP．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在矩形ABCD中，已知AB=2AD=4，E為AB的中點(diǎn)，現(xiàn)將△AED沿DE折起，使點(diǎn)A到點(diǎn)P處，滿足PB=PC，設(shè)M、H分別為PC、DE的中點(diǎn)．
（1）求證：BM∥平面PDE；
（2）線段BC上是否存在一點(diǎn)N，使BC⊥平面PHN？試證明你的結(jié)論；
（3）求△PBC的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在矩形ABCD中，AB=3
3
，BC=3，沿對角線BD將BCD折起，使點(diǎn)C移到點(diǎn)C′，且C′在平面ABD的射影O恰好在AB上
（1）求證：BC′⊥面ADC′；
（2）求二面角A-BC′-D的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在矩形ABCD中，已知AB=3，AD=1，E、F分別是AB的兩個三等分點(diǎn)，AC，DF相交于點(diǎn)G，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系：
（1）若動點(diǎn)M到D點(diǎn)距離等于它到C點(diǎn)距離的兩倍，求動點(diǎn)M的軌跡圍成區(qū)域的面積；
（2）證明：E G⊥D F．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在矩形ABCD中，AB=
12
BC，E為AD的中點(diǎn)，將△ABE沿BE折起，使平面ABE⊥平面BCDE．
（1）求證：CE⊥AB；
（2）在線段BC上找一點(diǎn)F，使DF∥平面ABE．

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