【題目】(2017·全國Ⅱ卷)如圖,四棱錐PABCD中,側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,ABBCAD,BADABC90°,EPD的中點.

(1)證明:直線CE∥平面PAB;

(2)M在棱PC上,且直線BM與底面ABCD所成角為45°,求二面角MABD的余弦值.

【答案】(1)見解析(2

【解析】試題分析:(1) 取PA的中點F,根據(jù)平幾知識得四邊形BCEF是平行四邊形,即得CEBF ,再根據(jù)線面平行判定定理證結(jié)論,(2) 先根據(jù)條件建立空間直角坐標系,設(shè)立各點坐標,根據(jù)方程組各面法向量,根據(jù)向量數(shù)量積求向量夾角,最后根據(jù)二面角與向量夾角相等或互補關(guān)系求二面角M-AB-D的余弦值.

試題解析: (1)證明 取PA的中點F,連接EF,BF,

因為EPD的中點,所以EFAD,EFAD.

由∠BADABC90°BCAD

BCAD,所以EFBC,

四邊形BCEF是平行四邊形,CEBF,

BF平面PAB,

CE平面PAB,

CE∥平面PAB.

(2)解 由已知得BAAD,以A為坐標原點,的方向為x軸正方向,||為單位長,建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz,則

A(0,0,0)B(1,0,0),C(11,0)P(0,1),

(1,0,-)(1,00).

設(shè)M(x,yz)(0<x<1),則

(x1yz),(x,y1,z).

因為BM與底面ABCD所成的角為45°,

n(0,0,1)是底面ABCD的法向量,

所以|cos,n|sin 45°,

,

(x1)2y2span>-z20.

M在棱PC上,設(shè)λ(0λ≤1),則

xλ,y1zλ.

由①,②解得 (舍去),

所以M,從而.

設(shè)m(x0,y0z0)是平面ABM的法向量,則

所以可取m(0,-2).

于是cosm,n〉=.

因此二面角MABD的余弦值為.

練習冊系列答案
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(Ⅲ)若某段時間內(nèi)產(chǎn)品利潤與宣傳費和營業(yè)額的關(guān)系為,應(yīng)投入宣傳費多少萬元才能使利潤最大,并求最大利潤.

參考數(shù)據(jù): , , , ,

參考公式:相關(guān)系數(shù), ,

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