Question

已知橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

3

2

，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(-

3

，

1

2

)，圓C2的直徑C₁的長(zhǎng)軸．如圖，C是橢圓短軸端點(diǎn)，動(dòng)直線AB過(guò)點(diǎn)C且與圓C₂交于A，B兩點(diǎn)，CD垂直于AB交橢圓于點(diǎn)D．
（Ⅰ）求橢圓C₁的方程；
（Ⅱ）求△ABD面積的最大值，并求此時(shí)直線AB的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）由已知條件得

c

a

=

3

2

，所以設(shè)橢圓方程為

x2

4k2

+

y2

k2

=1，再由橢圓C₁經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(-

3

，

1

2

)，圓C2

3

，

1

2

），能求出橢圓C₁的方程．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x₀，y₀），設(shè)直線l₁的方程為y=kx+1，又圓C₂：x²+y²=4，求出點(diǎn)O到直線l₁的距離和|AB|，求出直線l₂的方程為x+ky-k=0．由此能求出直線l₁的方程．

解答： 解：（1）∵橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

3

2

，
∴

c

a

=

3

2

，∴a=2k，b=k，k＞0，
∴

x2

4k2

+

y2

k2

=1，
∵橢圓C₁經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(-

3

，

1

2

)，圓C2

3

，

1

2

），
∴

3

4k2

+

1

4k2

=1，解得k²=1，
∴橢圓C₁的方程為

x2

4

+y2=1．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x₀，y₀），
由題意知直線l₁的斜率存在，設(shè)直線l₁的方程為y=kx+1，
又圓C₂：x²+y²=4，
∴點(diǎn)O到直線l₁的距離d=

1

k2+1

，
∴|AB|=2

4-d2

=2

4k2+3 k2+1

，
又∵l₁⊥l₂，∴直線l₂的方程為x+ky-k=0．
由

x+ky-k=0 x2 4 +y2=1

，消去y，得：
（4+k²）x²+8kx=0，
∴x0=-

8k

4+k2

，
∴|CD|=

8 k2+1

4+k2

，
設(shè)△ABD的面積為S，則S=

1

2

|AB|•|CD|=

8 4k2+3

4+k2

，
∴S=

32

4k2+3 + 13 4k2+3

≤

32

2 4k2+3 • 13 4k2+3

=

16 13

13

，
當(dāng)且僅當(dāng)k=±

10

2

時(shí)取等號(hào)，
∴所求的直線l₁的方程為y=±

10

2

x-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查直線與橢圓的位置關(guān)系等基本知識(shí)，同時(shí)考查解析幾何的解題思想和綜合解題能力．