Question

已知函數(shù)f（x）=|x-a|+|x-4|（a∈R），不等式f（x）＜3的解集為空集，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：利用絕對值三角不等式可得f（x）=|x-a|+|x-4|≥|（x-a）+（4-x）|=|4-a|，依題意可得|4-a|≥3，解之即可．

解答： 解：依題意知，f（x）=|x-a|+|x-4|≥3恒成立，
∴3≤f（x）_min；
由絕對值三角不等式得：f（x）=|x-a|+|x-4|≥|（x-a）+（4-x）|=|4-a|，
即f（x）_min=|4-a|，
∴|4-a|≥3，即a-4≤-3或a-4≥3，
解得：a≤1或a≥7．
∴實數(shù)a的取值范圍是（-∞，1]∪[7，+∞）．

點評：本題考查絕對值不等式的解法，求得|4-a|≥3是關(guān)鍵，突出考查等價轉(zhuǎn)化思想與運算求解能力，屬于中檔題．